الاحتمالات (مقدمة): الأحداث والعمليات على الأحداث وقانون الاحتمال مع تمارين محلولة — الثانية ثانوي — رياضيات — المنهاج الجزائري

📚 الأهداف التعلمية

• تعريف مفهوم الاحتمال والتجربة العشوائية
• تصنيف الأحداث واستعمال العمليات عليها
• التعرف على قانون الاحتمال وخصائصه
• حساب احتمالات الأحداث في حالات التساوي

📖 شرح الدرس

1. مفهوم الاحتمال والتجربة العشوائية

التجربة العشوائية (Expérience aléatoire): هي تجربة لا يمكن توقع نتيجتها يقيناً قبل إجرائها، لكن يمكن معرفة جميع النتائج الممكنة مسبقاً. مثال: رمي قطعة نقود، رمي زهر (حصى).

فضاء العينة (Univers des possibles): مجموعة جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية، ويرمز له بالرمز Ω. مثال: عند رمي قطعة نقود مرة واحدة: Ω = {وجه، كتابة}.

2. الأحداث (Événements)

• الحدث العنصر (Événement élémentaire): حدث يتكون من نتيجة واحدة فقط
• الحدث المركب (Événement composé): حدث يتكون من أكثر من نتيجة
• الحدث الأكيد (Événement certain): يساوي فضاء العينة Ω (يحدث دائماً)
• الحدث المستحيل (Événement impossible): الحدث الخالي ∅ (لا يحدث أبداً)

3. العمليات على الأحداث

• الاجتماع (Union): A ∪ B = حدث يتحقق إذا تحقق A أو B أو كلاهما معاً
• التقاطع (Intersection): A ∩ B = حدث يتحقق إذا تحقق A و B معاً
• الحدث المضاد (Événement contraire): Ā = حدث يحقق إذا لم يتحقق A
• حدثان غير متوافقين (Incompatibles): إذا كان A ∩ B = ∅ أي لا يمكن تحققهما معاً

4. قانون الاحتمال (Loi de probabilité)

قانون الاحتمال هو تطبيق يرفق بكل حدث A عدداً P(A) بين 0 و1، يحقق الخصائص التالية:

• P(Ω) = 1
• P(∅) = 0
• P(A̅) = 1 – P(A)
• إذا كان A و B حدثان غير متوافقين: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• القاعدة العامة: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

5. حالة التساوي الاحتمال (Équiprobabilité)

عندما تكون جميع النتائج الأولية لها نفس الاحتمال (حالة التساوي)، يكون:

P(A) = (عدد النتائج الأولية المحققة لـ A) ÷ (عدد النتائج الأولية الممكنة)

P(A) = Card(A) / Card(Ω)

📝 تمارين محلولة

التمرين الأول:

نرمي زهراً متوازناً ذا 6 أوجه مرة واحدة. نعتبر الأحداث التالية:
A: الحصول على عدد زوجي
B: الحصول على عدد أصغر من 3

المطلوب: 1. اكتب فضاء العينة. 2. اكتب الأحداث A و B. 3. احسب P(A)، P(B). 4. احسب P(A ∩ B)، P(A ∪ B). 5. احسب P(Ā).

الحل:
1. فضاء العينة: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} وعدد عناصره Card(Ω) = 6
2. A = {2, 4, 6} و B = {1, 2}
3. P(A) = 3/6 = 1/2 و P(B) = 2/6 = 1/3
4. A ∩ B = {2} → P(A ∩ B) = 1/6
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3
5. P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 1/2 = 1/2 (الحصول على عدد فردي)

التمرين الثاني:

صندوق يحتوي على 5 كريات حمراء و 3 كريات زرقاء و 2 كريتين خضراوين. نسحب كرية واحدة عشوائياً من الصندوق.
احسب احتمال الحصول على: 1. كرية حمراء. 2. كرية زرقاء أو خضراء. 3. كرية ليست حمراء.

الحل:
عدد الكريات الكلي = 5 + 3 + 2 = 10
1. P(حمراء) = 5/10 = 1/2
2. P(زرقاء أو خضراء) = P(زرقاء) + P(خضراء) = 3/10 + 2/10 = 5/10 = 1/2
3. P(ليست حمراء) = 1 – P(حمراء) = 1 – 1/2 = 1/2

التمرين الثالث:

نسحب بطاقة عشوائياً من مجموعة أوراق اللعب (52 بطاقة). احسب احتمال الحصول على:
1. قلب (Cœur). 2. ملك (Roi). 3. قلب أو ملك.

الحل:
Card(Ω) = 52
1. عدد القلوب في اللعبة هو 13. P(قلب) = 13/52 = 1/4
2. عدد الملوك هو 4. P(ملك) = 4/52 = 1/13
3. P(قلب ∪ ملك) = P(قلب) + P(ملك) – P(قلب ∩ ملك)
قلب ∩ ملك = ملك القلوب → 1 بطاقة
P(قلب ∪ ملك) = 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13

دروس مشابهة:

• الإحصاء في الرياضيات: المجتمع، العينة، التواتر، التكرار — الثانية ثانوي