الزوايا الموجهة والقياس المثلثي: الدوال المثلثية (sin, cos, tan) وتمارين محلولة — الثانية ثانوي — رياضيات — المنهاج الجزائري

الزوايا الموجهة والقياس المثلثي: الدوال المثلثية (sin, cos, tan)

الأهداف التعليمية:

• أن يتعرف التلميذ على مفهوم الزاوية الموجهة والقياس المثلثي.
• أن يستعمل الدائرة المثلثية لتحديد الدوال المثلثية.
• أن يحسب النسب المثلثية للزوايا الخاصة.
• أن يستخدم العلاقات المثلثية الأساسية في حل التمارين.

تمهيد:

القياس المثلثي (Trigonométrie) هو فرع من الرياضيات يدرس العلاقات بين أضلاع المثلث وزواياه. وهو أساسي في العديد من المجالات كالهندسة والفيزياء والفلك. في هذا الدرس، سنتعرف على الزوايا الموجهة والدائرة المثلثية والدوال المثلثية الأساسية (الجيب، جيب التمام، الظل).

1. الزاوية الموجهة (Angle Orienté):

تعريف: الزاوية الموجهة (→OA, →OB) هي زاوية بين شعاعين OA و OB، تقاس بالراديان (rad) وتكون موجبة إذا كان الاتجاه عكس عقارب الساعة وسالبة إذا كان مع عقارب الساعة.

القياس بالراديان: 360° = 2π rad، 180° = π rad، 90° = π/2 rad.
التحويل: من الدرجات إلى الراديان: × π/180. من الراديان إلى الدرجات: × 180/π.

2. الدائرة المثلثية (Cercle Trigonométrique):

هي دائرة نصف قطرها 1، مركزها O، وعليها نقطة M(x, y) بحيث:

• x = cos(θ) (جيب التمام).
• y = sin(θ) (الجيب).
• tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) (الظل)، شرط cos(θ) ≠ 0.

3. قيم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة:

جدول القيم الأساسية:

الزاوية (درجة)	0°	30°	45°	60°	90°	180°
الزاوية (راديان)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π
sin(θ)	0	1/2	√2/2	√3/2	1	0
cos(θ)	1	√3/2	√2/2	1/2	0	-1
tan(θ)	0	√3/3	1	√3	غير معرف	0

4. العلاقات المثلثية الأساسية:

1. المتطابقة الأساسية: sin²(θ) + cos²(θ) = 1
2. زاويتان متتامتان: sin(π/2 – θ) = cos(θ)، cos(π/2 – θ) = sin(θ)
3. زاويتان متكاملتان: sin(π – θ) = sin(θ)، cos(π – θ) = -cos(θ)
4. الزاوية المقابلة: sin(-θ) = -sin(θ)، cos(-θ) = cos(θ)
5. صيغ الجمع: cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)، sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

5. تمارين محلولة:

التمرين 1: أحسب قيمة sin(150°) و cos(150°) باستخدام الزوايا المرجعية.
الحل: 150° = 180° – 30° = π – π/6. إذن sin(150°) = sin(30°) = 1/2. cos(150°) = -cos(30°) = -√3/2.

التمرين 2: أثبت أن: cos²(θ) – sin²(θ) = 1 – 2sin²(θ).
الحل: cos²(θ) – sin²(θ) = (1-sin²(θ)) – sin²(θ) = 1 – 2sin²(θ). (استعملنا المتطابقة الأساسية sin²+cos²=1).

التمرين 3: إذا كان sin(θ) = 3/5 و θ ∈ [π/2, π]، أحسب cos(θ) و tan(θ).
الحل: cos²(θ) = 1 – sin²(θ) = 1 – 9/25 = 16/25. cos(θ) = -4/5 (لأن θ في الربع الثاني حيث cos سالب). tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) = (3/5)/(-4/5) = -3/4.

التمرين 4: حل المعادلة: cos(x) = 1/2 في المجال [0, 2π].
الحل: cos(x) = 1/2 ← x = π/3 أو x = 5π/3 (لأن cos موجب في الربعين الأول والرابع).

6. خلاصة:

القياس المثلثي أداة رياضية قوية لفهم العلاقات بين الزوايا والأضلاع. الدائرة المثلثية هي المفتاح لفهم الدوال المثلثية وقيمها. العلاقات المثلثية الأساسية تساعد في تبسيط التعبيرات وحل المعادلات المثلثية. إتقان هذه المفاهيم ضروري للنجاح في امتحان البكالوريا.

📚 دروس مشابهة:
الجداء السلمي في المستوى: تعريف، خواص وتطبيقات مع تمارين محلولة
المرجح في المستوى: تعريف، خصائص وتمارين محلولة