الحساب الشعاعي (المتجهات): شرح شامل مع تمارين محلولة – الأولى ثانوي (رياضيات) – المنهاج الجزائري

📌 مثال 1: جمع متجهات باستخدام علاقة شال

المعطيات: لدينا النقاط A و B و C في المستوى بحيث \\( \\vec{AC} = \\vec{AB} + \\vec{BC} \\).

المطلوب: بسط العبارات التالية:

\\( 1) \\; \\vec{AB} + \\vec{BA} \\)

\\( 2) \\; \\vec{AB} + \\vec{BC} + \\vec{CA} \\)

الحل:

1) \\( \\vec{AB} + \\vec{BA} = \\vec{AA} = \\vec{0} \\) (متجهة منعدمة لأن \\( \\vec{BA} = -\\vec{AB} \\))

2) \\( \\vec{AB} + \\vec{BC} + \\vec{CA} = (\\vec{AB} + \\vec{BC}) + \\vec{CA} = \\vec{AC} + \\vec{CA} = \\vec{AA} = \\vec{0} \\)

لاحظ أن \\( \\vec{AC} + \\vec{CA} = \\vec{0} \\) لأن \\( \\vec{CA} = -\\vec{AC} \\).

📌 مثال 2: العمليات على المتجهات بالإحداثيات

المعطيات: لدينا المتجهات التالية في معلم \\( (O; \\vec{i}; \\vec{j}) \\):

\\( \\vec{u}(2; 3) \\) و \\( \\vec{v}(-1; 4) \\) و \\( \\vec{w}(5; -2) \\)

المطلوب: احسب:

\\( 1) \\; \\vec{u} + \\vec{v} \\)

\\( 2) \\; \\vec{u} – \\vec{v} \\)

\\( 3) \\; 3\\vec{u} \\)

\\( 4) \\; 2\\vec{u} + \\vec{v} – 3\\vec{w} \\)

الحل:

1) \\( \\vec{u} + \\vec{v} (2 + (-1); \\; 3 + 4) = (1; 7) \\)

2) \\( \\vec{u} – \\vec{v} (2 – (-1); \\; 3 – 4) = (3; -1) \\)

3) \\( 3\\vec{u} (3 \\times 2; \\; 3 \\times 3) = (6; 9) \\)

4) \\( 2\\vec{u} + \\vec{v} – 3\\vec{w} = (4; 6) + (-1; 4) – (15; -6) = (4-1-15; 6+4-(-6)) = (-12; 16) \\)

📌 مثال 3: إثبات أن النقاط في استقامة

المعطيات: النقاط A(1; 2) و B(3; 4) و C(5; 6).

المطلوب: بيّن أن النقاط A و B و C في استقامة واحدة.

الحل:

نحسب المتجهتين \\( \\vec{AB} \\) و \\( \\vec{AC} \\):

\\( \\vec{AB} (3-1; 4-2) = (2; 2) \\)

\\( \\vec{AC} (5-1; 6-2) = (4; 4) \\)

نلاحظ أن \\( \\vec{AC} = 2 \\times \\vec{AB} \\) لأن \\( (4; 4) = 2 \\times (2; 2) \\).

إذن \\( \\vec{AC} \\) و \\( \\vec{AB} \\) مرتبطتان خطياً (إحداهما من مضاعفات الأخرى)، ومنه النقاط A و B و C في استقامة واحدة.

📌 مثال 4: حساب المسافة والمعيار

المعطيات: النقاط P(3; -2) و Q(7; 1).

المطلوب: احسب المسافة PQ.

الحل:

أولاً: \\( \\vec{PQ} (7-3; 1-(-2)) = (4; 3) \\)

ثانياً: \\( PQ = ||\\vec{PQ}|| = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{16 + 9} = \\sqrt{25} = 5 \\)

إذن المسافة بين النقطتين P و Q تساوي 5 وحدات طول.

📌 مثال 5: إيجاد إحداثيات نقطة باستخدام مساواة متجهتين

المعطيات: لدينا الشكل الرباعي ABCD حيث A(1; 2) و B(4; 3) و C(6; 1).

المطلوب: عين إحداثيات النقطة D بحيث يكون ABCD متوازي أضلاع.

الحل:

في متوازي الأضلاع ABCD، يجب أن يكون \\( \\vec{AB} = \\vec{DC} \\).

نحسب \\( \\vec{AB} (4-1; 3-2) = (3; 1) \\)

نفرض D(x; y). إذن \\( \\vec{DC} (6 – x; 1 – y) \\).

المساواة \\( \\vec{AB} = \\vec{DC} \\) تعطي:

\\( 6 – x = 3 \\implies x = 3 \\)

\\( 1 – y = 1 \\implies y = 0 \\)

إذن D(3; 0).

تحقق: \\( \\vec{AB}(3; 1) \\) و \\( \\vec{DC}(6-3; 1-0) = (3; 1) \\) ✅

🏆 تمرين بكالوريا: مركز ثقل مثلث (شعبة علوم)

المعطيات: في معلم متعامد ومتجانس \\( (O; \\vec{i}; \\vec{j}) \\)، نعتبر المثلث ABC حيث A(1; 5) و B(-2; 3) و C(4; 1).

المطلوب:

1) أحسب \\( \\vec{AB} \\) و \\( \\vec{AC} \\) و \\( \\vec{BC} \\).

2) عين إحداثيات منتصف M للقطعة [BC].

3) عين إحداثيات مركز ثقل G للمثلث ABC.

4) أثبت أن \\( \\vec{GA} + \\vec{GB} + \\vec{GC} = \\vec{0} \\).

الحل:

1) حساب المتجهات:

\\( \\vec{AB} (-2 – 1; 3 – 5) = (-3; -2) \\)

\\( \\vec{AC} (4 – 1; 1 – 5) = (3; -4) \\)

\\( \\vec{BC} (4 – (-2); 1 – 3) = (6; -2) \\)

2) منتصف [BC]:

\\( M \\left( \\frac{x_B + x_C}{2}; \\frac{y_B + y_C}{2} \\right) = M \\left( \\frac{-2 + 4}{2}; \\frac{3 + 1}{2} \\right) = M(1; 2) \\)

3) مركز ثقل المثلث:

\\( G \\left( \\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \\frac{y_A + y_B + y_C}{3} \\right) = G \\left( \\frac{1 + (-2) + 4}{3}; \\frac{5 + 3 + 1}{3} \\right) = G \\left( \\frac{3}{3}; \\frac{9}{3} \\right) = G(1; 3) \\)

4) التحقق من العلاقة:

\\( \\vec{GA} (1 – 1; 5 – 3) = (0; 2) \\)

\\( \\vec{GB} (-2 – 1; 3 – 3) = (-3; 0) \\)

\\( \\vec{GC} (4 – 1; 1 – 3) = (3; -2) \\)

\\( \\vec{GA} + \\vec{GB} + \\vec{GC} = (0 + (-3) + 3; 2 + 0 + (-2)) = (0; 0) = \\vec{0} \\) ✅

🏆 تمرين بكالوريا: تطبيق على متوازي الأضلاع

المعطيات: ABCD متوازي أضلاع مركزه O.

المطلوب: باستعمال الحساب الشعاعي فقط (بدون إحداثيات)، اثبت أن:

\\( \\vec{OA} + \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{OD} = \\vec{0} \\)

الحل:

في متوازي الأضلاع، القطران [AC] و [BD] يتقاطعان في منتصفهما O.

إذن O هو منتصف [AC]: \\( \\vec{AO} = \\vec{OC} \\) أو \\( \\vec{OA} = -\\vec{OC} \\)

ومنه \\( \\vec{OA} + \\vec{OC} = \\vec{0} \\) ✅

كذلك O هو منتصف [BD]: \\( \\vec{BO} = \\vec{OD} \\) أو \\( \\vec{OB} = -\\vec{OD} \\)

ومنه \\( \\vec{OB} + \\vec{OD} = \\vec{0} \\) ✅

وهو المطلوب إثباته.