أخبار الموقع

الجداء السلمي في المستوى: تعريف، خواص وتطبيقات مع تمارين محلولة – الثانية ثانوي (رياضيات) – المنهاج الجزائري

الثانية ثانوي, تربية وتعليم, دروس الثانوي ضع تعليق

📐 بطاقة الدرس

المستوى السنة الثانية ثانوي – جميع الشعب العلمية
المادة الرياضيات
الوحدة الهندسة التحليلية – الجداء السلمي في المستوى
الأهمية 🔴 أساسي جداً — يؤسس لفهم الهندسة التحليلية في المستوى والفضاء، ويُستخدم بكثافة في بكالوريا جميع الشعب العلمية
المدة التقديرية 3 حصص (حصتان للشرح + حصة تمارين)

🎯 الأهداف التعليمية

في نهاية هذا الدرس، سيكون التلميذ قادراً على:

  • ✅ تعريف الجداء السلمي لمتجهين في المستوى
  • ✅ حساب الجداء السلمي باستخدام معيارَي المتجهين وجيب تمام الزاوية بينهما
  • ✅ حساب الجداء السلمي في معلم متعامد متجانس باستعمال الإحداثيات
  • ✅ تطبيق خواص الجداء السلمي (التبادل، التوزيع، التجميع)
  • ✅ تحديد تعامد متجهين باستخدام الجداء السلمي
  • ✅ حساب المساقط العمودية والزوايا بين المتجهات
  • ✅ حل مسائل هندسية متنوعة باستعمال الجداء السلمي

📖 تمهيد

في الهندسة المستوية، كثيراً ما نحتاج إلى ربط مفهومَي الطول والزاوية بطريقة جبرية تسمح لنا بالحساب الدقيق. هذا الربط يتحقق بواسطة الجداء السلمي (Scalar Product / Produit Scalaire)، وهو عملية رياضية تأخذ متجهين وتُعيد عدداً حقيقياً (قيمة سلمية). للجداء السلمي تطبيقات واسعة في الفيزياء (الشغل، الاستطاعة) والهندسة والاقتصاد، وهو حجر الزاوية للهندسة التحليلية في جميع الأبعاد.

📌 تعريف: الجداء السلمي

ليكن \\(\\vec{u}\\) و \\(\\vec{v}\\) متجهين غير منعدمين في المستوى. نسمي الجداء السلمي للمتجهين \\(\\vec{u}\\) و \\(\\vec{v}\\) العددَ الحقيقي الذي نرمز له بـ \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}\\) (أو \\(\\langle \\vec{u}, \\vec{v} \\rangle\\)) والمعرَّف كما يلي:

\\[ \\boxed{\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| \\times \\cos(\\theta)} \\]

حيث \\(\\theta\\) هي الزاوية بين المتجهين \\(\\vec{u}\\) و \\(\\vec{v}\\) (0 ≤ θ ≤ π)

حالات خاصة:

  • إذا كان أحد المتجهين معدوماً \\(\\vec{u} = \\vec{0}\\) أو \\(\\vec{v} = \\vec{0}\\) فإن \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0\\)
  • إذا كان \\(\\vec{u} = \\vec{v}\\) فإن \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2\\) (يُسمى المربع السلمي)

🔑 خواص الجداء السلمي

1. التبادلية (Symétrie / Commutativité)

\\[ \\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\vec{v} \\cdot \\vec{u} \\]

أي أن ترتيب المتجهين لا يؤثر على قيمة الجداء السلمي. وهذا واضح من التعريف لأن \\(\\cos(\\theta)\\) دالة زوجية.

2. الخطية (Bilinéarité)

الجداء السلمي خطي بالنسبة لكل متجه (خطي ثنائي / Bilinéaire):

\\[ (a\\vec{u}) \\cdot \\vec{v} = a(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}) \\quad\\text{و}\\quad \\vec{u} \\cdot (a\\vec{v}) = a(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}) \\]

3. التوزيعية (Distributivité)

\\[ \\vec{u} \\cdot (\\vec{v} + \\vec{w}) = \\vec{u} \\cdot \\vec{v} + \\vec{u} \\cdot \\vec{w} \\] \\[ (\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot \\vec{w} = \\vec{u} \\cdot \\vec{w} + \\vec{v} \\cdot \\vec{w} \\]

4. الهوية الأساسية (Identité fondamentale)

\\[ \\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2 \\] \\[ \\|\\vec{u} – \\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 – 2\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2 \\] \\[ (\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} – \\vec{v}) = \\|\\vec{u}\\|^2 – \\|\\vec{v}\\|^2 \\]

🧮 نظرية: الجداء السلمي بالإحداثيات

ليكن لدينا معلم متعامد متجانس \\((O; \\vec{i}, \\vec{j})\\) في المستوى. إذا كان:

\\[ \\vec{u} = x_1 \\vec{i} + y_1 \\vec{j} \\quad\\text{و}\\quad \\vec{v} = x_2 \\vec{i} + y_2 \\vec{j} \\]

فإن:

\\[ \\boxed{\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2} \\]

أي أن الجداء السلمي هو مجموع جداء المركبات المتناظرة.

📌 استنتاجات مهمة:

  • المعيار (الطول) من الإحداثيات: \\(\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\\)
  • المسافة بين نقطتين: \\(AB = \\sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\\)
  • جيب تمام الزاوية: \\(\\cos(\\theta) = \\dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \\times \\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}\\)

📋 شرط التعامد (Orthogonalité)

المتجهان \\(\\vec{u}\\) و \\(\\vec{v}\\) يكونان متعامدين (Perpendiculaires / Orthogonaux) إذا وفقط إذا كان جداؤهما السلمي معدوماً:

\\[ \\boxed{\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\iff \\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0} \\]

في الإحداثيات: \\(x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 \\iff \\vec{u} \\perp \\vec{v}\\)

🧩 تطبيقات الجداء السلمي

🔹 1. المسقط العمودي (Projection orthogonale)

المسقط العمودي لمتجه \\(\\vec{v}\\) على اتجاه متجه \\(\\vec{u}\\) يُعطى بالعلاقة:

\\[ \\text{Proj}_{\\vec{u}}(\\vec{v}) = \\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{\\|\\vec{u}\\|^2} \\; \\vec{u} \\]

والطول المسقط (المركبة) هو:

\\[ \\text{comp}_{\\vec{u}}(\\vec{v}) = \\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{\\|\\vec{u}\\|} \\]

🔹 2. معادلة مستقيم بدلالة متجه منظم

إذا كان \\(\\vec{n}(a, b)\\) متجهاً منظماً (عمودياً) على مستقيم \\((D)\\)، فإن معادلة \\((D)\\) تكتب:

\\[ a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0 \\quad\\text{أي}\\quad ax + by + c = 0 \\]

حيث \\(M_0(x_0, y_0)\\) نقطة من \\((D)\\).

🔹 3. المسافة من نقطة إلى مستقيم

المسافة من نقطة \\(A(x_A, y_A)\\) إلى مستقيم \\((D): ax + by + c = 0\\) هي:

\\[ d(A, D) = \\frac{|a x_A + b y_A + c|}{\\sqrt{a^2 + b^2}} \\]

وهذه من أهم التطبيقات في الهندسة التحليلية.

🔹 4. مساحة متوازي الأضلاع

مساحة متوازي الأضلاع المُحوَّر بمتجهين \\(\\vec{u}\\) و \\(\\vec{v}\\):

\\[ \\text{المساحة} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| \\times |\\sin(\\theta)| = \\sqrt{\\|\\vec{u}\\|^2 \\|\\vec{v}\\|^2 – (\\vec{u} \\cdot \\vec{v})^2} \\]

✨ مثال 1: حساب الجداء السلمي من المعايير والزاوية

ليكن \\(\\vec{u}\\) و \\(\\vec{v}\\) متجهين حيث \\(\\|\\vec{u}\\| = 3\\)، \\(\\|\\vec{v}\\| = 4\\)، والزاوية بينهما \\(\\theta = \\frac{\\pi}{3}\\). أحسب \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}\\).

الحل:

\\[ \\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| \\times \\cos(\\theta) = 3 \\times 4 \\times \\cos(\\frac{\\pi}{3}) = 12 \\times \\frac{1}{2} = 6 \\]

✨ مثال 2: حساب الجداء السلمي من الإحداثيات

في معلم متعامد متجانس، لدينا \\(\\vec{u}(2, -3)\\) و \\(\\vec{v}(4, 5)\\). أحسب \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}\\).

الحل:

\\[ \\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 2 \\times 4 + (-3) \\times 5 = 8 – 15 = -7 \\]

لاحظ أن الجداء السلمي سالب — وهذا يعني أن الزاوية بين المتجهين منفرجة (\\(\\frac{\\pi}{2} < \\theta < \\pi\\)).

✨ مثال 3: تعامد متجهين

هل المتجهان \\(\\vec{u}(3, -2)\\) و \\(\\vec{v}(4, 6)\\) متعامدان؟

الحل:

\\[ \\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3 \\times 4 + (-2) \\times 6 = 12 – 12 = 0 \\]

بما أن الجداء السلمي صفر، فإن \\(\\vec{u} \\perp \\vec{v}\\). ✓

✨ مثال 4: حساب الزاوية بين متجهين

أحسب الزاوية المحصورة بين المتجهين \\(\\vec{u}(1, \\sqrt{3})\\) و \\(\\vec{v}(-\\sqrt{3}, 1)\\).

الحل:

\\[ \\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{1^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{1 + 3} = 2 \\] \\[ \\|\\vec{v}\\| = \\sqrt{(-\\sqrt{3})^2 + 1^2} = \\sqrt{3 + 1} = 2 \\] \\[ \\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 1 \\times (-\\sqrt{3}) + \\sqrt{3} \\times 1 = -\\sqrt{3} + \\sqrt{3} = 0 \\]

بما أن الجداء السلمي صفر والزاوية بين 0 و π، فإن \\(\\theta = \\frac{\\pi}{2}\\). أي أن المتجهين متعامدان. ✓

✨ مثال 5: إيجاد معادلة مستقيم

أوجد معادلة المستقيم \\((D)\\) الذي يشمل النقطة \\(A(3, -2)\\) ويملك متجهاً منظماً \\(\\vec{n}(4, 1)\\).

الحل:

معادلة المستقيم تكتب: \\(a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0\\)

\\[ 4(x – 3) + 1(y – (-2)) = 0 \\] \\[ 4x – 12 + y + 2 = 0 \\] \\[ \\boxed{4x + y – 10 = 0} \\]

وهذه هي معادلة المستقيم المطلوب.

🏆 تمارين بكالوريا محلولة — نماذج من بكالوريا الجزائر

🏆 تمرين بكالوريا 1: الجداء السلمي في الهندسة

في معلم متعامد متجانس \\((O; \\vec{i}, \\vec{j})\\)، نعتبر النقط التالية:

\\[ A(1, 2), \\quad B(4, -1), \\quad C(-2, 3) \\]

1) أحسب \\(\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}\\).

2) استنتج طبيعة المثلث \\(ABC\\).

3) أحسب مساحة المثلث \\(ABC\\).

4) أوجد إحداثيات النقطة \\(H\\) مسقط \\(A\\) على \\((BC)\\).

الحل:

1) حساب الجداء السلمي \\(\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}\\):

\\[ \\overrightarrow{AB} = (4-1, -1-2) = (3, -3) \\] \\[ \\overrightarrow{AC} = (-2-1, 3-2) = (-3, 1) \\] \\[ \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC} = 3 \\times (-3) + (-3) \\times 1 = -9 – 3 = -12 \\]

2) طبيعة المثلث:

\\[ |\\overrightarrow{AB}| = \\sqrt{3^2 + (-3)^2} = \\sqrt{18} = 3\\sqrt{2} \\] \\[ |\\overrightarrow{AC}| = \\sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \\sqrt{10} \\] \\[ |\\overrightarrow{BC}| = \\sqrt{(-2-4)^2 + (3-(-1))^2} = \\sqrt{36 + 16} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13} \\] \\[ \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC} = |\\overrightarrow{AB}| \\times |\\overrightarrow{AC}| \\times \\cos(\\hat{A}) \\] \\[ \\cos(\\hat{A}) = \\frac{-12}{3\\sqrt{2} \\times \\sqrt{10}} = \\frac{-12}{3\\sqrt{20}} = \\frac{-12}{6\\sqrt{5}} = -\\frac{2}{\\sqrt{5}} \\]

بما أن \\(\\cos(\\hat{A}) < 0\\) فإن الزاوية \\(\\hat{A}\\) منفرجة، إذن المثلث \\(ABC\\) منفرج الزاوية في \\(A\\).

3) مساحة المثلث:

\\[ S = \\frac{1}{2} \\sqrt{\\|\\overrightarrow{AB}\\|^2 \\|\\overrightarrow{AC}\\|^2 – (\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC})^2} \\] \\[ S = \\frac{1}{2} \\sqrt{18 \\times 10 – (-12)^2} = \\frac{1}{2} \\sqrt{180 – 144} = \\frac{1}{2} \\sqrt{36} = \\frac{1}{2} \\times 6 = 3 \\]

إذن مساحة المثلث \\(ABC\\) هي 3 وحدات مربعة.

🏆 تمرين بكالوريا 2: تطبيق على معادلة مستقيم ومتعامدات

في معلم متعامد متجانس، نعتبر المستقيمين:

\\[ (D_1): 2x – 3y + 5 = 0 \\quad\\text{و}\\quad (D_2): -3x + 2y – 4 = 0 \\]

1) أوجد متجهاً منظماً لكل مستقيم.

2) بيّن أن \\((D_1)\\) و \\((D_2)\\) غير متعامدين.

3) أحسب المسافة بين النقطة \\(P(1, -2)\\) والمستقيم \\((D_1)\\).

الحل:

1) المتجهان المنظمان:

\\[ \\vec{n}_1(2, -3) \\;\\text{منظم لـ}\\; (D_1) \\quad\\text{و}\\quad \\vec{n}_2(-3, 2) \\;\\text{منظم لـ}\\; (D_2) \\]

2) التعامد:

\\[ \\vec{n}_1 \\cdot \\vec{n}_2 = 2 \\times (-3) + (-3) \\times 2 = -6 – 6 = -12 \\neq 0 \\]

بما أن الجداء السلمي غير معدوم، فإن المتجهين المنظمين غير متعامدين، وبالتالي المستقيمان غير متعامدين.

3) المسافة من \\(P\\) إلى \\((D_1)\\):

\\[ d(P, D_1) = \\frac{|2 \\times 1 + (-3) \\times (-2) + 5|}{\\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \\frac{|2 + 6 + 5|}{\\sqrt{4 + 9}} = \\frac{13}{\\sqrt{13}} = \\sqrt{13} \\]

إذن المسافة تساوي \\(\\sqrt{13}\\) وحدة طول.

📊 جدول ملخص خواص الجداء السلمي

الخاصية الصيغة الرياضية
التعريف بالزاوية \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|\\,\\cos\\theta\\)
التعريف بالإحداثيات \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\\)
التبادلية \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\vec{v} \\cdot \\vec{u}\\)
الخطية \\((a\\vec{u})\\cdot\\vec{v} = a(\\vec{u}\\cdot\\vec{v})\\)
التوزيعية \\(\\vec{u}\\cdot(\\vec{v}+\\vec{w}) = \\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\vec{u}\\cdot\\vec{w}\\)
المربع السلمي \\(\\vec{u}\\cdot\\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2\\)
هوية المتجهات \\(\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2\\)
شرط التعامد \\(\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\iff \\vec{u}\\cdot\\vec{v} = 0\\)
جيب تمام الزاوية \\(\\cos\\theta = \\dfrac{\\vec{u}\\cdot\\vec{v}}{\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|}\\)
المسافة من نقطة لمستقيم \\(d(A, D) = \\dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\\sqrt{a^2+b^2}}\\)

💡 ملخص الدرس

  • الجداء السلمي هو عملية بين متجهين تُعطي عدداً حقيقياً. يُستخدم لربط الأطوال بالزوايا بطريقة جبرية.
  • التعريف الأساسي: \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| \\times \\cos(\\theta)\\)
  • في معلم متعامد متجانس: \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\\)
  • المتجهان متعامدان إذا وفقط إذا كان جداؤهما السلمي معدوماً.
  • للجداء السلمي تطبيقات عديدة: حساب المسافات، الزوايا، معادلات المستقيمات، المساقط، والمساحات.
  • القوانين الأساسية: التبادلية، الخطية، التوزيعية، وهوية المتجهات.

✏️ تمارين إضافية (مع الإجابات)

📝 التمرين 1

في معلم متعامد متجانس، لدينا \\(A(2, 1)\\)، \\(B(-1, 4)\\)، \\(C(3, -2)\\). أحسب \\(\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}\\) ثم استنتج \\(\\cos(\\widehat{BAC})\\).

🔍 انقر للحل
\\[ \\overrightarrow{AB} = (-3, 3), \\quad \\overrightarrow{AC} = (1, -3) \\] \\[ \\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC} = (-3)(1) + 3(-3) = -3 – 9 = -12 \\] \\[ \\|\\overrightarrow{AB}\\| = \\sqrt{9 + 9} = 3\\sqrt{2}, \\quad \\|\\overrightarrow{AC}\\| = \\sqrt{1 + 9} = \\sqrt{10} \\] \\[ \\cos(\\widehat{BAC}) = \\frac{-12}{3\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{10}} = -\\frac{2}{\\sqrt{5}} \\]

📝 التمرين 2

أوجد العدد الحقيقي \\(m\\) بحيث يكون المتجهان \\(\\vec{u}(m, 3)\\) و \\(\\vec{v}(2, -6)\\) متعامدين.

🔍 انقر للحل
\\[ \\vec{u} \\perp \\vec{v} \\iff \\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0 \\iff m \\times 2 + 3 \\times (-6) = 0 \\iff 2m – 18 = 0 \\iff m = 9 \\]

📝 التمرين 3

أحسب المسافة من النقطة \\(A(3, -3)\\) إلى المستقيم \\((D): 5x – 12y + 1 = 0\\).

🔍 انقر للحل
\\[ d(A, D) = \\frac{|5 \\times 3 + (-12) \\times (-3) + 1|}{\\sqrt{25 + 144}} = \\frac{|15 + 36 + 1|}{\\sqrt{169}} = \\frac{52}{13} = 4 \\]

📝 التمرين 4 (تحدي)

\\(ABC\\) مثلث حيث \\(A(0, 0)\\)، \\(B(4, 0)\\)، \\(C(1, 3)\\). أوجد إحداثيات النقطة \\(H\\) مسقط \\(B\\) على \\((AC)\\) باستخدام الجداء السلمي.

🔍 انقر للحل

نفرض \\(H \\in (AC)\\)، إذن يوجد \\(t\\) بحيث \\(\\overrightarrow{AH} = t \\cdot \\overrightarrow{AC}\\).

\\[ \\overrightarrow{AC} = (1, 3), \\quad \\overrightarrow{AB} = (4, 0) \\]

الشرط: \\(BH \\perp AC\\) أي \\(\\overrightarrow{BH} \\cdot \\overrightarrow{AC} = 0\\).

\\[ \\overrightarrow{BH} = \\overrightarrow{BA} + \\overrightarrow{AH} = (-4, 0) + t(1, 3) = (t – 4, 3t) \\] \\[ \\overrightarrow{BH} \\cdot \\overrightarrow{AC} = (t – 4) \\times 1 + 3t \\times 3 = t – 4 + 9t = 10t – 4 = 0 \\] \\[ \\implies t = \\frac{2}{5} \\] \\[ H\\left(\\frac{2}{5}, \\frac{6}{5}\\right) \\]

⚠️ تنبيهات وأخطاء شائعة

  • ⚠️ الخلط بين الجداء السلمي والجداء الاتجاهي: الجداء السلمي يُعطي عدداً وليس متجهاً. لا تخلط بين \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}\\) (عدد) و \\(\\vec{u} \\times \\vec{v}\\) (متجه).
  • ⚠️ نسيان القيمة المطلقة: عند حساب المسافة من نقطة إلى مستقيم، لا تنسَ القيمة المطلقة في البسط!
  • ⚠️ الشرطان معاً للتعامد: \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0\\) شرط ضروري وكافٍ للتعامد، لكن فقط إذا كان المتجهان غير منعدمين.
  • ⚠️ المعيار: تذكر أن \\(\\|\\vec{u}\\|^2 = \\vec{u} \\cdot \\vec{u}\\)، لذلك لا تربع المتجه بنفسك!
  • ⚠️ الجداء السلمي السالب: لا تعتبر الجداء السلمي السالب خطأً — إنه يعني أن الزاوية بين المتجهين منفرجة (\\(\\frac{\\pi}{2} < \\theta \\leq \\pi\\)).

💎 نصائح للنجاح في البكالوريا

  • 📌 احفظ التعريفين: بالزاوية وبالإحداثيات — كل مسألة تحتاج واحداً منهما.
  • 📌 تدرب على التحويل: من الشكل الهندسي (متجهات مرسومة) إلى الإحداثيات وبالعكس.
  • 📌 الجداء السلمي أداة قوية: استخدمه لإثبات التعامد، حساب المسافات، وإيجاد الزوايا.
  • 📌 في البكالوريا: غالباً ما يأتي الجداء السلمي ضمن أسئلة الهندسة التحليلية — تأكد من إتقان الطرق الثلاث: بالمعايير والزاوية، بالإحداثيات، وباستخدام الخواص.

📍 دروس مشابهة:

شاهد أيضا

المفعول فيه (ظرف الزمان وظرف المكان) — تعريفه وإعرابه — اللغة العربية — السنة الثالثة ابتدائي — المنهاج الجزائري

📌 عنوان الدرس المفعول فيه (ظرف الزمان وظرف المكان) — تعريفه وإعرابه — اللغة العربية …

الأشكال الهندسية (المربع والمستطيل والمثلث والدائرة) — الرياضيات — السنة الثانية ابتدائي — المنهاج الجزائري

📌 عنوان الدرس الأشكال الهندسية (المربع والمستطيل والمثلث والدائرة) — الرياضيات — السنة الثانية ابتدائي …

الجملة الاسمية والفعلية (المبتدأ والخبر — الفعل والفاعل) — اللغة العربية — السنة الثانية ابتدائي — المنهاج الجزائري

📌 عنوان الدرس الجملة الاسمية والجملة الفعلية (المبتدأ والخبر — الفعل والفاعل) — اللغة العربية …

Expressing Likes and Dislikes: Vocabulary, Grammar and Speaking – 1st Year Secondary School – Algerian Curriculum

Expressing Likes and Dislikes: Vocabulary, Grammar and Speaking 1. Expressing Likes (التعبير عن الإعجاب) There …

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

بنك الإختبارات 2026
DZ-ONEC.COM مدونة التربية و التعليم - الموقع الأول للدراسة في الجزائر 2026