الهندسة في الفضاء: المستقيمات والمستويات مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات

الهندسة في الفضاء – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات

الهندسة في الفضاء من محور الهندسة في مادة الرياضيات لشعب الرياضيات والعلوم التجريبية والتقني رياضي. يتناول هذا الدرس دراسة المستقيمات والمستويات في الفضاء بمساعدة الأشعة والإحداثيات.

أهداف الدرس:

• تمثيل فضاء ثلاثي الأبعاد بمتجهة الموضع
• تحديد معادلات المستقيمات والمستويات
• حساب المسافات والزوايا
• دراسة الوضع النسبي بين العناصر الهندسية

1. تمثيل الفضاء:

الفضاء R³ تمثيل بثلاثة محاور متعامدة (O, i, j, k). كل نقطة M تحدد بثلاث إحداثيات (x, y, z) أو بمتجهة الموضع OM = xi + yj + zk. الأشعة: AB = (x_B−x_A, y_B−y_A, z_B−z_A). الجداء السلمي: u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. المعيار: |u| = √(x²+y²+z²). الجداء الاتجاهي: u×v = (y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂).

2. المستقيم في الفضاء:

معادلة مستقيم D يمر من A(x₀,y₀,z₀) وموجه بـ v(a,b,c): تمثيل بارامتري: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct (حيث t∈R). نظام معادلتين ديكارتي: {a₁x+b₁y+c₁z+d₁=0, a₂x+b₂y+c₂z+d₂=0} (تقاطع مستويين).

3. المستوى في الفضاء:

معادلة مستوى: ax + by + cz + d = 0 حيث (a,b,c) متجهة ناظمة (n). إذا مر المستوى من A(x₀,y₀,z₀) وناظمته n(a,b,c): a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0. المستوى الذي يمر من ثلاث نقاط غير مستقيمية يحدد بطريقتين: باستخدام الجداء الاتجاهي أو حل جملة معادلات.

4. الوضع النسبي بين المستويين:

مستويان (P₁: a₁x+b₁y+c₁z+d₁=0) و (P₂: a₂x+b₂y+c₂z+d₂=0): متوازيان: إذا كانت الناظمتان مرتبطتين خطياً (n₁ = k×n₂) و d₁ ≠ k×d₂. منطبقان: n₁ = k×n₂ و d₁ = k×d₂. متقاطعان: إذا كانت الناظمتان غير مرتبطتين خطياً، فتقاطعها مستقيم.

الوضع النسبي بين مستقيم ومستوى:

مستقيم D موجه بـ v ومستوى P ناظمته n: متوازيان: إذا كان v·n = 0 والنقطة لا تنتمي للمستوى. داخل المستوى: إذا كان v·n = 0 والنقطة تنتمي للمستوى. متقاطعان: إذا كان v·n ≠ 0، نقطة التقاطع تحل بحل جملة المعادلات.

تمرين بكالوريا محلول:

التمرين: A(1,0,2), B(0,1,1), C(2,3,0). 1) احسب AB و AC. 2) جد متجهة ناظمة للمستوى (ABC). 3) اكتب معادلة المستوى (ABC). الحل: 1) AB = (−1,1,−1), AC = (1,3,−2). 2) n = AB×AC = ((1)(−2)−(−1)(3), (−1)(1)−(−1)(−2), (−1)(3)−(1)(1)) = (−2+3, −1−2, −3−1) = (1, −3, −4). 3) معادلة المستوى: 1(x−1) + (−3)(y−0) + (−4)(z−2) = 0 → x−1−3y−4z+8 = 0 → x−3y−4z+7 = 0.

خلاصة:

الهندسة في الفضاء تعتمد على الجبر الخطي. أتقن حساب الجداءات السلمية والاتجاهية، وحل جمل المعادلات. تذكر دائماً أن الناظمة للمستوى تحدد اتجاهه، والجداء الاتجاهي يعطي ناظمة لمستوى يمر بنقطتين أو أكثر.

📍 دروس مشابهة:

• النهايات والاستمرارية: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي
• التكامل: حساب المساحات والحجوم – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات