الحساب الحرفي — النشر والتحليل — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

الثالثة متوسط, تربية وتعليم, دروس المتوسط ضع تعليق

الحساب الحرفي — النشر والتحليل

الكفاءة المستهدفة

أن يتعرف التلميذ على مفهوم الحساب الحرفي (الجبر)
أن ينشر التلميذ عبارة جبرية باستخدام خاصية توزيع الضرب على الجمع
أن يحلل التلميذ عبارة جبرية بإخراج العامل المشترك
أن يبسط التلميذ عبارات جبرية وينشرها

تمهيد

في الرياضيات، نستخدم غالباً الحروف (مثل x, y, a, b) لتمثيل أعداد غير معروفة أو متغيرة. هذا ما نسميه الحساب الحرفي. الحساب الحرفي هو أساس الجبر (Algebra) ويساعدنا في حل مسائل معقدة بطريقة منظمة. في هذا الدرس سنتعلم أهم عمليتين في الحساب الحرفي: النشر و التحليل.

أولاً: مفهوم الحساب الحرفي

الحساب الحرفي (أو الجبر) هو فرع من الرياضيات يستخدم الحروف والرموز لتمثيل الأعداد والعلاقات بينها. مثال على عبارة جبرية: 3x + 5

الحد (Term): جزء من العبارة مثل 3x أو 5
المعامل (Coefficient): العدد الذي يضرب الحرف (3 في 3x)
الثابت (Constant): العدد الذي لا يرافقه حرف (5)

ثانياً: النشر (Expanding) — توزيع الضرب على الجمع

النشر هو تحويل جداء (ضرب) إلى مجموع حدود. نستخدم خاصية توزيع الضرب على الجمع:

k × (a + b) = k × a + k × b

📝 مثال 1: نشر بسيط

انشر: 3(x + 4)

3 × (x + 4) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12

📝 مثال 2: نشر جداء قوسين (مزدوج)

انشر: (x + 2)(x + 3)

نضرب كل حد من القوس الأول في كل حد من القوس الثاني:

= x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3

= x² + 3x + 2x + 6

= x² + 5x + 6 (نجمع الحدود المتشابهة)

✅ هذه طريقة مهمة جداً ستحتاجها في دروس لاحقة!

ثالثاً: التحليل (Factorisation) — إخراج العامل المشترك

التحليل هو عكس النشر — تحويل مجموع حدود إلى جداء (ضرب). نبحث عن العامل المشترك الأكبر (ق.م.أ) بين جميع الحدود.

k × a + k × b = k × (a + b)

📝 مثال 3: تحليل بإخراج عامل مشترك

حلل: 6x + 9

الخطوة 1: أوجد ق.م.أ للعددين 6 و 9 ← 3

الخطوة 2: اكتب كل حد على شكل (العامل المشترك × الباقي)

6x = 3 × 2x و 9 = 3 × 3

الخطوة 3: أخرج العامل المشترك: 3(2x + 3)

✅ 6x + 9 = 3(2x + 3) — تحقق: 3 × 2x + 3 × 3 = 6x + 9 ✓

📝 مثال 4: تحليل مع حرف

حلل: x² + 5x

ق.م.أ = x (لأن x موجود في كل حد)

x² + 5x = x × x + x × 5 = x(x + 5)

✅ تحقق: x(x + 5) = x² + 5x ✓

📌 خلاصة الدرس

الحساب الحرفي: استخدام الحروف في التعبير عن العلاقات الرياضية
النشر: تحويل (ضرب) إلى مجموع باستخدام التوزيع
التحليل (التعميل): تحويل مجموع إلى جداء بإخراج العامل المشترك
النشر والتحليل عمليتان عكسيتان (النشر = عكس التحليل)
النشر المزدوج (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

✏️ تمارين تطبيقية

انشر: 5(2x + 3)
انشر: (x + 4)(x + 2)
حلل: 12x + 8
حلل: 3x² + 6x
تحقق من صحة: (x + 3)² = x² + 6x + 9 (باستخدام النشر المزدوج)

🏠 نشاط منزلي

حل المسألة التالية: مستطيل طوله (x + 5) cm وعرضه (x + 2) cm. اكتب عبارة جبرية تمثل مساحة المستطيل (المساحة = طول × عرض)، ثم انشر العبارة واكتبها في أبسط صورة.

الحساب الحرفي — النشر والتحليل — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري