التحويلات النقطية في المستوى: الإزاحة والتحاكي والدوران – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات

التحويلات النقطية في المستوى – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات

التحويلات النقطية في المستوى من الدروس الأساسية في منهاج الرياضيات للسنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) لشعب: علوم تجريبية، رياضيات، وتقني رياضي. نقدم في هذا الدرس شرحاً وافياً لمفاهيم الإزاحة والتحاكي والدوران مع تمارين بكالوريا محلولة.

أهداف الدرس:

• تعريف التحويل النقطي ومعرفة خصائص كل تحويل
• إتقان كتابة الصيغ التحليلية للإزاحة والتحاكي والدوران
• حل تمارين البكالوريا المتعلقة بالتحويلات النقطية

1. الإزاحة (الانتقال):

الإزاحة هي تحويل نقطي ينقل كل نقطة M من المستوى إلى نقطة M’ بحيث يكون MM’ = شعاع ثابت u. نكتب: M’ = T_u(M). الصيغة التحليلية: إذا كانت u(a,b) و M(x,y) فإن M'(x’,y’) حيث: x’ = x + a و y’ = y + b. الإزاحة تحافظ على المسافات والزوايا والاستقامة.

2. التحاكي:

التحاكي هو تحويل نقطي يُعرف بمركز O ونسبة k (عدد حقيقي غير معدوم). لكل نقطة M، الصورة M’ تحقق: OM’ = k × OM (أي الشعاعان متجاوران). إذا كان k > 0، التحاكي مباشر. إذا كان k < 0، التحاكي معكوس. الصيغة التحليلية: إذا كان O(x₀,y₀) و M(x,y) فإن: x' = x₀ + k(x - x₀) و y' = y₀ + k(y - y₀).

3. الدوران:

الدوران هو تحويل نقطي يُعرف بمركز O وزاوية θ. لكل نقطة M، الصورة M’ تحقق: OM’ = OM والزاوية (OM, OM’) = θ. الصيغة التحليلية: إذا كان O(x₀,y₀) و M(x,y) فإن: x’ – x₀ = (x – x₀)cosθ – (y – y₀)sinθ و y’ – y₀ = (x – x₀)sinθ + (y – y₀)cosθ.

4. خصائص عامة:

• الإزاحة والدوران يحافظان على المسافات (إزاحات)
• التحاكي يحافظ على النسب (تشابه)
• تركيب تحويلين يعطي تحويلاً جديداً
• كل تحويل نقطي يقبل تحويلاً عكسياً

تمرين بكالوريا محلول:

تمرين: في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس (O,i,j). نعتبر التحاكي H الذي مركزه A(1,2) ونسبته 2، والدوران R الذي مركزه B(3,1) وزاويته π/2. أحسب صورة النقطة C(4,5) بالتحاكي H ثم بالدوران R.

الحل:
1) التحاكي H: M'(x’,y’) مع A(1,2) و k=2:
x’ = 1 + 2(4 – 1) = 1 + 6 = 7
y’ = 2 + 2(5 – 2) = 2 + 6 = 8
إذن صورة C بالتحاكي هي C₁(7,8).
2) الدوران R: C₂(x”,y”) مع B(3,1) و θ=π/2:
x” – 3 = (7 – 3)cos(π/2) – (8 – 1)sin(π/2) = 0 – 7 = -7 ⇒ x” = -4
y” – 1 = (7 – 3)sin(π/2) + (8 – 1)cos(π/2) = 4 + 0 = 4 ⇒ y” = 5
إذن صورة C₁ بالدوران هي C₂(-4,5).

خلاصة:

التحويلات النقطية من الأدوات الهندسية المهمة في البكالوريا. يجب التركيز على الصيغ التحليلية والتعرف على نوع التحويل من معطياته. التمارين غالباً ما تجمع بين تحويلين أو أكثر في تمرين واحد.

📍 دروس مشابهة:

• الهندسة في الفضاء: المستقيمات والمستويات
• النهايات والاستمرارية: شرح شامل مع تمارين بكالوريا