الاحتمالات الشرطية وقانون بايز: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات – المنهاج الجزائري

🎯 أهداف التعلم

• أن يتعرف مفهوم الاحتمال الشرطي وطريقة حسابه.
• أن يميز بين الأحداث المستقلة والأحداث غير المستقلة.
• أن يحسب الاحتمال الكلي باستخدام قانون الاحتمالات الكلية.
• أن يطبق قانون بايز في حل المسائل.

📝 تمهيد

في حياتنا اليومية، كثيراً ما نغير تقديراتنا الاحتمالية عند توفر معلومات جديدة. مثلاً، احتمال إصابة شخص بمرض ما يتغير إذا علمنا أن لديه عاملاً وراثياً معيناً. هذا هو جوهر الاحتمال الشرطي: كيف تؤثر معلومة جديدة على احتمالية وقوع حدث ما؟ قانون بايز (Bayes’ Theorem) هو الأداة الرياضية التي تسمح لنا بتحديث معتقداتنا بناءً على الأدلة الجديدة.

📐 1. مفهوم الاحتمال الشرطي

الاحتمال الشرطي لحدث A علماً أن حدث B قد وقع، ونرمز له بـ P(A|B)، يحسب بالعلاقة:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), بشرط P(B) > 0.

معناه: احتمال وقوع A في مجموعة النتائج التي تقع ضمن B.

🔄 2. الأحداث المستقلة وغير المستقلة

• الحدثان A و B مستقلان إذا كان: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) أو ما يعادله P(A|B) = P(A).
• مثال: إلقاء قطعة نقود مرتين — نتيجة الرمية الأولى لا تؤثر على الثانية.

🔗 3. قانون الاحتمالات الكلية

إذا كانت {A₁, A₂, …, Aₙ} مجموعة أقسام (تجزئة) للفضاء Ω، فإن أي حدث B يكتب:

P(B) = P(A₁) × P(B|A₁) + P(A₂) × P(B|A₂) + ... + P(Aₙ) × P(B|Aₙ)

أي: مجموع احتمالات B مع كل قسم من أقسام الفضاء.

🧮 4. قانون بايز (Bayes’ Theorem)

قانون بايز يسمح بحساب الاحتمال الشرطي العكسي P(Aᵢ|B) انطلاقاً من P(B|Aᵢ):

P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ) × P(B|Aᵢ) / P(B)

حيث P(B) يحسب بقانون الاحتمالات الكلية. يُستخدم هذا القانون في التشخيص الطبي، تصفية البريد المزعج، وخوارزميات التعلم الآلي.

📍 دروس مشابهة:

• النهايات والاستمرارية – الثالثة ثانوي رياضيات
• الأعداد المركبة – الثالثة ثانوي رياضيات