الاشتقاق: تعريف المشتقة وقواعد الاشتقاق – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

الاشتقاق: تعريف المشتقة وقواعد الاشتقاق

الاشتقاق من المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي. المشتقة تمثل معدل تغير دالة عند نقطة معينة، وهي أداة قوية لدراسة الدوال. هذا الدرس موجه لتلاميذ السنة الثانية ثانوي شعبة علوم تجريبية.

تعريف المشتقة

نقول أن الدالة f قابلة للاشتقاق عند x₀ إذا كانت نهاية نسبة التغير موجودة ومنتهية: f'(x₀) = lim [f(x₀+h) – f(x₀)]/h عندما h → 0.

قواعد الاشتقاق الأساسية

• مشتقة الثابت: (c)’ = 0
• مشتقة الدالة الخطية: (x)’ = 1
• مشتقة القوة: (xⁿ)’ = n xⁿ⁻¹
• مشتقة المجموع: (u+v)’ = u’ + v’
• مشتقة الجداء: (u×v)’ = u’v + uv’
• مشتقة الخارج: (u/v)’ = (u’v – uv’)/v²

مثال تطبيقي

احسب مشتقة الدالة f(x) = 3x² + 2x – 5. f'(x) = 3×2x + 2 – 0 = 6x + 2.

تطبيق: معادلة المماس

معادلة المماس لمنحنى الدالة f عند النقطة (x₀, f(x₀)): y – f(x₀) = f'(x₀)(x – x₀).

تمارين

تمرين 1: احسب مشتقة f(x) = x³ – 4x² + 7x – 2.
تمرين 2: جد معادلة المماس للدالة f(x) = x² + 1 عند النقطة (2,5).
تمرين 3: احسب مشتقة f(x) = (2x+1)/(x-3).

دراسة الدوال: اتجاه التغير والتمثيل البياني ← راجع درس الدوال

النهايات والاستمرارية ← راجع درس النهايات