النهايات والاستمرارية: مفهوم النهاية وتعريفها – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

النهايات والاستمرارية: مفهوم النهاية وتعريفها

النهاية (Limit) هي مفهوم أساسي في التحليل الرياضي. تصف سلوك دالة عندما يقترب المتغير من قيمة معينة.

تعريف النهاية

نقول أن للدالة f نهاية L عندما يقترب x من a (نكتب lim f(x) = L) إذا أمكن تقريب قيم f(x) من L بدرجة كافية بجعل x قريباً بدرجة كافية من a.

قواعد حساب النهايات

• lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)
• lim [f(x) × g(x)] = lim f(x) × lim g(x)
• lim [f(x)/g(x)] = lim f(x)/lim g(x) (إذا lim g(x) ≠ 0)
• lim k = k (نهاية ثابت)
• lim [k f(x)] = k lim f(x)

نهايات الدوال الأساسية

• lim x^n = a^n (لـ x→a)
• lim 1/x = 0 (لـ x→±∞)
• lim x^n = +∞ (لـ x→+∞, n>0)

الاستمرارية

الدالة f مستمرة عند a إذا: 1) f معرفة عند a، 2) نهاية f عند a موجودة، 3) lim f(x) = f(a). الدوال كثيرة الحدود مستمرة على ℝ.

تمارين

1. احسب lim (2x+1) (لـ x→3)
2. احسب lim (x²-4)/(x-2) (لـ x→2)
3. هل الدالة f(x) = x² مستمرة عند x = 1؟

? دروس مشابهة:

• الأعداد الطبيعية: القسمة الإقليدية والمضاعفات – الرياضيات —
• الأعداد العشرية: الضرب والقسمة – الرياضيات — السنة الأولى م
• حساب الاحتمالات (تمارين متقدمة) – الرياضيات — السنة الرابعة