التكامل: مفهوم التكامل غير المحدد والمحدد – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

التكامل: مفهوم التكامل غير المحدد والمحدد

التكامل (Integration) هو أحد فرعي التفاضل والتكامل، ويعتبر العملية العكسية للاشتقاق. للتكامل استخدامات واسعة في حساب المساحات والحجوم وحل المعادلات التفاضلية، وله تطبيقات في الفيزياء والهندسة والاقتصاد.

التكامل غير المحدد (Indefinite Integral)

هو عملية إيجاد الدالة الأصلية F(x) التي مشتقتها f(x). يكتب:
∫ f(x) dx = F(x) + C
حيث C ثابت التكامل.

قواعد التكامل الأساسية:
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ eˣ dx = eˣ + C
∫ sin x dx = -cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C

التكامل المحدد (Definite Integral)

يمثل المساحة المحصورة بين منحنى الدالة f(x) ومحور x بين حدي التكامل a و b:
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) – F(a)
حيث F(x) دالة أصلية لـ f(x).
النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تربط بين التكامل والاشتقاق.

تقنيات التكامل

• التكامل بالتعويض: نستبدل متغيراً بآخر لتبسيط التكامل. ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du.
• التكامل بالتجزئة: ∫ u·dv = uv – ∫ v·du. يستخدم لتكامل جداء دالتين.
• التكامل بالكسور الجزئية: لتحليل الدوال الكسرية إلى كسور أبسط.

تطبيقات التكامل

• المساحة بين المنحنيات: A = ∫ₐᵇ [f(x) – g(x)] dx.
• حجم الأجسام الدورانية: V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx (حول محور x).
• طول منحنى: L = ∫ₐᵇ √(1 + [f'(x)]²) dx.
• الشغل في الفيزياء: W = ∫ F·dx.

مثال تطبيقي

احسب المساحة تحت منحنى f(x) = x² من x = 1 إلى x = 3:
A = ∫₁³ x² dx = [x³/3]₁³ = (27/3) – (1/3) = 9 – 0.333 = 8.667 وحدة مربعة.

تمارين

1. احسب التكامل غير المحدد: ∫ (3x² + 2x – 5) dx.
2. احسب التكامل المحدد: ∫₀² (x³ + 1) dx.
3. احسب المساحة المحصورة بين منحني y = x² و y = x في الفترة [0,1].
4. استخدم التكامل بالتجزئة لحساب ∫ x·eˣ dx.

للمزيد من الدروس العلمية، راجع درس البيئة الصحراوية: تكيفات الكائنات الحية، كما يمكنك الاطلاع على النظام البيئي: مكوناته وتوازنه.