الرياضيات — المتتالية الهندسية: تعريفها وخصائصها وتمارين شاملة — السنة الثانية ثانوي — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المتتالية الهندسية: تعريفها وخصائصها وتمارين شاملة

المتتالية الهندسية هي متتالية عددية ينتقل فيها كل حد إلى الحد التالي بضربه في عدد ثابت غير صفري يُسمى الأساس (أو النسبة المشتركة).

تعريف المتتالية الهندسية

نقول أن (Vn) متتالية هندسية إذا وجد عدد حقيقي q لا يساوي 0 (يسمى الأساس) بحيث: V(n+1) = Vn x q لكل n من مجموعة الأعداد الطبيعية.

الحد العام: Vn = V0 x q^n حيث V0 هو الحد الأول.

خصائص المتتالية الهندسية

إذا كانت V0 أكبر من 0 و q أكبر من 1، المتتالية متزايدة.

إذا كانت V0 أكبر من 0 و 0 أقل من q أقل من 1، المتتالية متناقصة.

التمثيل البياني لنقاط (n, Vn) هو شكل أسّي.

مجموع حدود متتالية هندسية

مجموع أول n حد (عندما q لا يساوي 1): Sn = V0 x (1 – q^n) / (1 – q)

مثال تطبيقي

لتكن (Vn) متتالية هندسية حيث V0 = 2 و q = 3. احسب V4 و V6.

الحل: V4 = 2 x 3^4 = 2 x 81 = 162، V6 = 2 x 3^6 = 2 x 729 = 1458.

تمارين

التمرين 1: متتالية هندسية حدها الأول V0 = 5 وأساسها q = 2. احسب V3 و V5.

التمرين 2: في متتالية هندسية، V2 = 12 و V5 = 96. أوجد V0 و q.

للمزيد من الدروس، راجع درس المتتاليات الحسابية ودرس الدوال الأسية.