الأعداد المركبة: تمثيلها وخواصها وعملياتها – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الأعداد المركبة: تمثيلها وخواصها وعملياتها – الرياضيات

الأعداد المركبة C توسع مجموعة الأعداد الحقيقية بإضافة الوحدة التخيلية i حيث i² = -1. تستخدم في الفيزياء والهندسة الكهربائية.

1. مفهوم العدد المركب

العدد المركب يكتب على الشكل z = a + bi حيث a و b عددان حقيقيان، i الوحدة التخيلية (i² = -1). a يسمى الجزء الحقيقي و b الجزء التخيلي.

2. العمليات على الأعداد المركبة

• الجمع: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
• الطرح: (a+bi) – (c+di) = (a-c) + (b-d)i
• الضرب: (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac-bd) + (ad+bc)i
• القسمة: نضرب البسط والمقام في مرافق المقام

3. مرافق العدد المركب

مرافق z = a + bi هو ¯z = a – bi. خاصيات: z + ¯z = 2a (عدد حقيقي)، z × ¯z = a² + b² (عدد حقيقي موجب).

4. التمثيل الهندسي

يمثل العدد المركب z = a + bi بنقطة في المستوي (M(a,b). المحور الأفقي يمثل الجزء الحقيقي والعمودي يمثل الجزء التخيلي (مستوي أرجاند).)

المسافة OM تسمى مقياس العدد المركب: |z| = √(a² + b²).

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: احسب (2 + 3i) + (4 – i).

التمرين 2: احسب (1 + i)².

التمرين 3: أوجد مرافق z = 3 – 2i واحسب z × ¯z.

6. الحلول

حل 1: (2+3i)+(4-i) = (2+4) + (3-1)i = 6 + 2i.

حل 2: (1+i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i – 1 = 2i.

حل 3: ¯z = 3 + 2i. z × ¯z = (3-2i)(3+2i) = 9 + 4 = 13.

للمزيد من الدروس راجع التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.