الجداء السلمي: تعريفه وخصائصه وتطبيقاته في الهندسة – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

الجداء السلمي: تعريفه وخصائصه وتطبيقاته في الهندسة

الجداء السلمي عملية في الهندسة المتجهية تسمح بربط الحساب الجبري بالهندسة. يستخدم لحساب الأطوال والزوايا والمساقط.

1. تعريف الجداء السلمي

الجداء السلمي لمتجهين →u و →v هو عدد حقيقي (قيمة سلمية) يرمز له بـ →u ⋅ →v.

إذا كان →u = (x₁, y₁) و →v = (x₂, y₂) فإن →u ⋅ →v = x₁x₂ + y₁y₂.

2. خصائص الجداء السلمي

• →u ⋅ →v = →v ⋅ →u (خاصية التبادل)
• →u ⋅ (→v + →w) = →u ⋅ →v + →u ⋅ →w (خاصية التوزيع)
• إذا كان →u ⊥ →v فإن →u ⋅ →v = 0
• →u ⋅ →u = ||{ & }rarr;u||{ & }sup2;
• →u ⋅ →v = ||{ & }rarr;u|| { & }times; ||{ & }rarr;v|| { & }times; cos(θ) حيث θ الزاوية بين المتجهين

3. تطبيقات الجداء السلمي

حساب الزاوية بين متجهين: cos(θ) = (→u ⋅ →v) / (||→u|| × ||→v||)

التعمود: →u ⊥ →v ⇔ →u ⋅ →v = 0

المسقط العمودي: المسقط العمودي لـ →v على →u هو: (→u ⋅ →v) / ||{ & }rarr;u||

4. تمارين تطبيقية

التمرين 1: احسب الجداء السلمي للمتجهين →u(2, 3) و →v(4, -1).

التمرين 2: هل المتجهان →a(3, 6) و →b(2, -1) متعامدان؟

التمرين 3: أحسب الزاوية بين المتجهين →p(1, 0) و →q(0, 1).

5. الحلول

حل 1: →u ⋅ →v = 2 × 4 + 3 × (-1) = 8 – 3 = 5.

حل 2: →a ⋅ →b = 3 × 2 + 6 × (-1) = 6 – 6 = 0. إذن المتجهان متعامدان.

حل 3: ||{ & }rarr;p|| = 1, ||{ & }rarr;q|| { = 1, & }rarr;p ⋅ →q = 0. cos(θ) = 0/1 = 0. إذن θ = 90°.

راجع أيضاً درس التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.