الرياضيات — المنطق الرياضي: الاستدلالات والبراهين — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

المنطق الرياضي: الاستدلالات وأنواع البراهين

المنطق الرياضي هو أساس التفكير الرياضي السليم. في هذا الدرس للسنة الثانية ثانوي، نتعلم أنواع الاستدلالات الرياضية.

أولا: مفهوم الاستدلال

الاستدلال هو عملية منطقية ننتقل فيها من مقدمات إلى نتائج. هناك نوعان رئيسيان:

ثانيا: الاستدلال الاستنباطي (Déduction)

ننتقل من العام إلى الخاص. إذا كانت المقدمات صحيحة فالنتيجة صحيحة حتما.

مثال: كل البشر فانون. سقراط إنسان. إذن سقراط فان.

ثالثا: الاستدلال بالتراجع (Récurrence)

يستخدم لإثبات عبارات للأعداد الطبيعية:

1. الخطوة 0 (الأساس): نثبت أن P(0) صحيحة
2. الخطوة 1 (الفرضية): نفترض P(n) صحيحة
3. الخطوة 2: نثبت أن P(n+1) صحيحة

مثال: أثبت أن 1+2+…+n = n(n+1)/2

P(1): 1 = 1×2/2 = 1 ✓

نفترض P(n) صحيحة. نريد إثبات P(n+1): 1+2+…+n+(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2 ✓

تمارين

1. أثبت بالتراجع أن 1²+2²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6
2. ما الفرق بين الاستنباط والاستقراء؟
3. أثبت أن 2^n > n لكل n∈ℕ.

للمزيد راجع البرهان بالاستدلال و النهايات.