الرياضيات — المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى — الثالثة ثانوي — المنهاج الجزائري

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

المعادلات التفاضلية هي معادلات تحتوي على مشتقات. هذا الدرس مخصص لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم ورياضيات).

أولا: تعريف المعادلة التفاضلية

المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي معادلة تربط بين دالة y(x) ومشتقتها y'(x). الصيغة العامة: y’ = f(x, y)

ثانيا: المعادلة من الشكل y’ = a y

حل هذه المعادلة هو: y = C · e^(ax) حيث C ثابت حقيقي.

مثال 1:

حل المعادلة: y’ = 2y

الحل: y(x) = C · e^(2x)

ثالثا: المعادلة من الشكل y’ = a y + b

الحل العام: y(x) = C · e^(ax) – b/a

مثال 2:

حل المعادلة: y’ = 3y + 6

الحل: y(x) = C · e^(3x) – 2

رابعا: تطبيقات فيزيائية

• التحلل الإشعاعي: dN/dt = -λN حيث N(t) = N₀ · e^(-λt)
• تبريد نيوتن: dT/dt = -k(T – Tₐ)

تمارين

1. حل المعادلة: y’ = -4y مع الشرط y(0) = 3
2. حل المعادلة: y’ = 5y – 10
3. عند دراسة تحلل مادة مشعة، وجد أن N(t) = 100 · e^(-0.05t). أحسب كمية المادة بعد 10 سنوات.

للمزيد، راجع درس التكامل: مفهوم التكامل غير المحدد. كما يمكنك الاطلاع على التفاضل: مفهوم المشتقة وتفسيرها الهندسي.