الرياضيات — الأعداد المركبة: العمليات الأساسية والتمثيل الهندسي — الثالثة ثانوي — المنهاج الجزائري

الأعداد المركبة: العمليات الحسابية والتمثيل الهندسي

الأعداد المركبة هي امتداد لمجموعة الأعداد الحقيقية، وتستخدم بكثرة في الفيزياء والهندسة الكهربائية. هذا الدرس مخصص لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي.

أولا: تعريف العدد المركب

العدد المركب يكتب على الشكل z = a + bi حيث a و b عددان حقيقيان، و i هي الوحدة التخيلية بحيث i² = -1.

a يسمى الجزء الحقيقي (Re(z)) و b يسمى الجزء التخيلي (Im(z)).

ثانيا: العمليات على الأعداد المركبة

الجمع: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

الضرب: (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

المرافق: z̄ = a – bi

المعيار: |z| = √(a² + b²)

مثال:

احسب: (2+3i) + (1-4i) = 3 – i

احسب: (1+i)(2-3i) = 2 – 3i + 2i – 3i² = 2 – i + 3 = 5 – i

ثالثا: التمثيل الهندسي

يمثل العدد المركب z = a + bi بنقطة M(a, b) في المستوي المركب (مستوي أرجاند).

المسافة OM = |z| تمثل معيار العدد المركب.

تمارين

1. احسب: (3-2i) + (5+7i)، (4+3i)(2-i)
2. أوجد مرافق ومعيار العدد: z = 3 + 4i
3. حل المعادلة: (2+i)z = 3 – i

للمزيد حول التحليل الرياضي، راجع درس تحليل عبارة من الدرجة الثانية: طريقة دلتا. كما يمكنك الاطلاع على المصفوفات: مفهوم أساسي وعمليات.