الرياضيات — الدوال الأسية: المعادلات والمتراجحات — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

المعادلات الأسية والمتراجحات الأسية

في هذا الدرس سنتعلم كيفية حل المعادلات والمتراجحات التي تحتوي على دوال أسية. تعتبر المعادلات الأسية من أهم المواضيع في الرياضيات للسنة الثانية ثانوي، وهي أساس لفهم العديد من المفاهيم في الفيزياء والكيمياء.

أولا: حل المعادلات الأسية

لحل معادلة أسية من الشكل a^x = b، نستخدم الخصائص التالية:

خاصية 1: إذا كان a^x = a^y فإن x = y (حيث a > 0 و a ≠ 1)

خاصية 2: لحل المعادلة a^x = b نحول الطرفين إلى نفس الأساس أو نستخدم اللوغاريتم.

مثال 1:

حل المعادلة: 2^x = 8

الحل: 2^x = 2^3 ← x = 3

مثال 2:

حل المعادلة: 3^(x+1) = 27

الحل: 3^(x+1) = 3^3 ← x + 1 = 3 ← x = 2

ثانيا: حل المتراجحات الأسية

لحل متراجحة أسية نتبع نفس المبدأ مع مراعاة إشارة الأساس:

إذا كان a > 1 فإن: a^x > a^y ⇔ x > y

إذا كان 0 < a < 1 فإن: a^x > a^y ⇔ x < y

مثال 3:

حل المتراجحة: 2^x > 16

الحل: 2^x > 2^4 ← x > 4

تمارين تطبيقية

1. حل المعادلات التالية: 5^x = 125، 4^(2x-1) = 64
2. حل المتراجحات التالية: (1/2)^x < 8، 3^(x+2) ≥ 27
3. أوجد مجموعة حل المعادلة: 2^(x+1) + 2^x = 12

لمزيد من المعلومات عن الدوال بشكل عام، يمكنك الاطلاع على درس دراسة دالة: منهجية كاملة. كما يمكنك مراجعة الدوال العددية: العمليات على الدوال لفهم أساسيات التعامل مع الدوال.