مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الدوال: رتابة الدالة واتجاه التغير
دراسة رتابة الدالة (اتجاه تغيرها) من المفاهيم الأساسية في تحليل الدوال، وهي تمكننا من فهم سلوك الدالة على مجال تعريفها.
مفهوم الرتابة
دالة متزايدة: تسمى الدالة f متزايدة على مجال I إذا كان: لكل x₁, x₂ ∈ I مع x₁ < x₂ يكون f(x₁) ≤ f(x₂).
دالة متناقصة: تسمى الدالة f متناقصة على مجال I إذا كان: لكل x₁, x₂ ∈ I مع x₁ < x₂ يكون f(x₁) ≥ f(x₂).
الدوال المرجعية ورتابتها
- دالة المربع: f(x) = x² متزايدة على [0, +∞[ ومتناقصة على ]-∞, 0]
- دالة الجذر: f(x) = √x متزايدة على [0, +∞[
- دالة المقلوب: f(x) = 1/x متناقصة على ]-∞, 0[ و متناقصة على ]0, +∞[
- الدالة التآلفية: f(x) = ax + b متزايدة إذا a > 0، متناقصة إذا a < 0
تحديد الرتابة باستخدام إشارة الفرق
لدراسة رتابة دالة f على مجال I، نحسب f(x₂) – f(x₁) حيث x₁, x₂ ∈ I.
- إذا كان f(x₂) – f(x₁) > 0 عندما x₂ > x₁ → f متزايدة
- إذا كان f(x₂) – f(x₁) < 0 عندما x₂ > x₁ → f متناقصة
مثال تطبيقي
مثال: ادرس رتابة الدالة f(x) = x² + 1 على المجال [0, +∞[.
نختار x₁ < x₂ من [0, +∞[. نحسب: f(x₂) - f(x₁) = (x₂² + 1) - (x₁² + 1) = x₂² - x₁² = (x₂ - x₁)(x₂ + x₁).
بما أن x₂ > x₁ → x₂ – x₁ > 0 و x₂ + x₁ > 0 → f(x₂) – f(x₁) > 0. إذن f متزايدة على [0, +∞[.
تمارين
- ادرس رتابة الدوال التالية على المجالات المعطاة:
- f(x) = -2x + 5 على ℝ
- f(x) = x² – 4 على [0, +∞[
- f(x) = 1/(x + 1) على ]-1, +∞[
- هل يمكن أن تكون دالة متزايدة ومتناقصة في نفس الوقت على نفس المجال؟
- لتكن f دالة متزايدة على ℝ. قارن f(3) و f(5).
للمزيد من الدروس حول الدوال، راجع درس الدوال المرجعية: دراسة الدالة التآلفية ودالة المربع ودرس الدوال العددية: مجموعة تعريف الدالة.
📍 دروس مشابهة:
- الرياضيات — قسمة الأعداد العشرية — السنة الخامسة إبتدائي — المنهاج الجزائري
- المسافة والسرعة والزمن — العلاقة بينهم — الرياضيات — السنة الأولى متوسط — المنهاج الجزائري
- الرياضيات — خواص الضرب: الإبدال والتجميع — السنة الرابعة إبتدائي — المنهاج الجزائري