الرياضيات — الدالة اللوغاريتمية: تعريف وخصائص — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدالة اللوغاريتمية: تعريف وخصائص

الدالة اللوغاريتمية (ln) هي الدالة العكسية للدالة الأسية. معرفة على ]0, +∞[.

خصائص الدالة اللوغاريتمية

• ln(1) = 0، ln(e) = 1
• ln(a×b) = ln(a) + ln(b)
• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
• ln(aⁿ) = n×ln(a)
• lim_{x→0⁺} ln(x) = -∞، lim_{x→+∞} ln(x) = +∞
• مشتقة ln(x) هي 1/x

العلاقة بين الدالة الأسية واللوغاريتمية

ln(e^x) = x لكل x ∈ ℝ

e^ln(x) = x لكل x > 0

أمثلة تطبيقية

مثال: حل المعادلة ln(x+1) – ln(x-1) = ln(3)

الحل: ln((x+1)/(x-1)) = ln(3) → (x+1)/(x-1) = 3 → x+1 = 3x – 3 → 2x = 4 → x = 2. شرط: x > 1، إذاً الحل x = 2.

تمارين مقترحة

1. حل المعادلة: ln(x² – 1) = 0
2. ادرس إشارة: f(x) = ln(2x + 1) – ln(x + 3)