الدوال الأسية (Exponentielles): تعريفها وخصائصها وتمثيلها ودراسة تغيراتها مع تمارين بكالوريا محلولة — الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات — المنهاج الجزائري

🔹 مثال 1: حل معادلة أسية

المعادلة: e^2x − 3e^x + 2 = 0

الحل: نضع X = e^x (حيث X > 0)

X² − 3X + 2 = 0 → (X − 1)(X − 2) = 0 → X = 1 أو X = 2

إذاً: e^x = 1 ⇒ x = 0 أو e^x = 2 ⇒ x = ln(2)

مجموعة الحلول: S = {0, ln(2)}

🔹 مثال 2: متراجحة أسية

المتراجحة: e^2x−1 ≥ 1

الحل: نعلم أن e⁰ = 1، والدالة الأسية تزايدية، إذن:

e^2x−1 ≥ e⁰ ⇔ 2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ ½

مجموعة الحلول: S = [½, +∞[

🔹 تمرين بكالوريا (مقتبس)

لتكن f(x) = (x − 1)e^x + 1

1) احسب النهايات عند ±∞

2) احسب المشتقة f'(x) وادرس إشارتها

3) شكل جدول تغيرات الدالة f

الحل:

1) lim_x→-∞ (x−1)e^x = 0 (لأن e^x تتغلب على x) ⇒ lim = 1

lim_x→+∞ (x−1)e^x = +∞ ⇒ lim = +∞

2) f'(x) = 1·e^x + (x−1)e^x = e^x(1 + x − 1) = x·e^x

إشارة f'(x) = إشارة x لأن e^x > 0 دائماً

f'(x) < 0 على ]-∞, 0[ و f'(x) > 0 على ]0, +∞[

3) الدالة متناقصة على ]-∞, 0] ومتزايدة على [0, +∞[

f(0) = (0−1)·1 + 1 = 0 وهي قيمة حدية صغرى.