التفاضل والتكامل: الدوال والمشتقات — رياضيات جامعية

مقدمة في التفاضل والتكامل

يُعد التفاضل والتكامل (Calculus) أحد أهم فروع الرياضيات الجامعية، حيث يشكل الأساس لفهم التغير المستمر في العلوم الطبيعية والهندسية والاقتصادية. نشأ هذا الفرع بفضل جهود علماء مثل نيوتن ولايبنيز في القرن السابع عشر، ويُستخدم لتحليل المعدلات اللحظية للتغير والمساحات تحت المنحنيات.

الدوال (Functions)

الدالة هي علاقة تربط كل عنصر من مجموعة (المجال) بعنصر واحد فقط من مجموعة أخرى (المجال المقابل). نكتب: f(x) = x² + 2x – 3. دراسة الدوال تشمل تحديد مجالها، مداها، ونقاط تقاطعها مع المحاور.

المشتقات (Derivatives)

المشتقة الأولى للدالة f(x) هي مقياس لمعدل تغير f بالنسبة لـ x. نرمز لها بـ f'(x) أو df/dx. قاعدة المشتقة الأساسية: إذا كانت f(x) = xⁿ فإن f'(x) = n·xⁿ⁻¹.

مثال تطبيقي:

لنحسب مشتقة الدالة f(x) = 3x⁴ + 2x² – 5x + 7.
f'(x) = 3·4x³ + 2·2x – 5 = 12x³ + 4x – 5

قواعد المشتقة الأساسية

• قاعدة الجمع: (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)
• قاعدة الضرب: (f·g)'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
• قاعدة السلسلة: (f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x)
• قاعدة القسمة: (f/g)'(x) = (f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)) / g²(x)

تطبيقات المشتقات

تُستخدم المشتقات في إيجاد القيم العظمى والصغرى للدوال (تحسين)، رسم المنحنيات، وحل مسائل في الفيزياء (السرعة والتسارع). على سبيل المثال، إذا كانت s(t) = t³ − 6t² + 9t دالة المسافة، فإن السرعة هي v(t) = s'(t) = 3t² − 12t + 9، والتسارع هو a(t) = v'(t) = 6t − 12.

للمزيد حول أساسيات الرياضيات، راجع درس الأنشطة الرياضية، كما يمكن الاطلاع على درس القياس في الرياضيات لمزيد من التمارين.

📍 دروس مشابهة:

• علم البلاغة: البيان والمعاني والبديع — لغة عربية جامعية
• الحركية الدوائية: امتصاص وتوزيع الأدوية — صيدلة
• الجهاز العصبي: التركيب والوظائف — طب بشري