الجبر الخطي: المصفوفات والمحددات – الرياضيات الجامعية

مقدمة في الجبر الخطي: المصفوفات والمحددات

الجبر الخطي (Linear Algebra) هو أحد أهم فروع الرياضيات الحديثة وله تطبيقات واسعة في الهندسة والفيزياء وعلوم الحاسوب والاقتصاد. سنتناول في هذا الدرس مفهوم المصفوفات وأنواعها، بالإضافة إلى عمليات المصفوفات والمحددات.

أولاً: تعريف المصفوفة

المصفوفة (Matrix) هي ترتيب مستطيل من الأعداد على شكل صفوف (Rows) وأعمدة (Columns). يرمز للمصفوفة بحرف كبير مثل A أو B. إذا كانت المصفوفة تحتوي على m صف و n عمود، نقول إن بعدها هو m × n.

ثانياً: أنواع المصفوفات

• المصفوفة المربعة: عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها (m = n)
• مصفوفة الوحدة (Identity): مصفوفة مربعة قطرها الرئيسي يساوي 1 وباقي العناصر 0
• المصفوفة المثلثية: جميع عناصرها تحت (أو فوق) القطر الرئيسي تساوي صفراً
• المصفوفة المنقولة (Transpose): تبديل الصفوف بالأعمدة، ويرمز لها Aᵀ

ثالثاً: عمليات المصفوفات

الجمع: نجمع العناصر المتناظرة (لابد أن تكون المصفوفتان من نفس البعد).
الضرب: ضرب مصفوفة A (m×n) في B (n×p) يعطي مصفوفة C (m×p).

رابعاً: المحددات (Determinants)

المحدد هو قيمة عددية ترتبط بالمصفوفات المربعة. يرمز لمحدد المصفوفة A بالرمز |A| أو det(A). يحسب محدد مصفوفة 2×2 كالتالي: |A| = ad – bc للمصفوفة [a b; c d].

مثال

احسب محدد المصفوفة: A = [3 4; 2 5] |A| = (3×5) – (4×2) = 15 – 8 = 7

للاستزادة، يمكنكم مراجعة درس النشر والتحليل: تبسيط العبارات الجبرية ودرس المعادلات من الدرجة الثانية.