المتتاليات الهندسية: الحد العام والمجموع – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

المتتاليات الهندسية: الحد العام والمجموع

المتتالية الهندسية هي متتالية عددية حيث يكون الحد الناتج بضرب الحد السابق في عدد ثابت يسمى الأساس (q). وهي من أهم المفاهيم في مادة الرياضيات للشعب العلمية.

تعريف المتتالية الهندسية

نقول أن (uₙ) متتالية هندسية إذا وجد عدد حقيقي q بحيث: uₙ₊₁ = q × uₙ لكل عدد طبيعي n. العدد q يسمى أساس المتتالية الهندسية.

الحد العام لمتتالية هندسية

إذا كانت (uₙ) متتالية هندسية أساسها q وحدها الأول u₀، فإن: uₙ = u₀ × qⁿ. وإذا كان الحد الأول u₁ فإن: uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹.

مثال تطبيقي

لتكن متتالية هندسية حدها الأول u₁ = 2 وأساسها q = 3. فإن: u₂ = 2 × 3 = 6, u₃ = 6 × 3 = 18, u₄ = 18 × 3 = 54. الحد العام: uₙ = 2 × 3ⁿ⁻¹.

مجموع حدود متتالية هندسية

مجموع أول n حد من متتالية هندسية أساسها q ≠ 1: Sₙ = u₁ × (1 – qⁿ) / (1 – q).

مثال على المجموع

احسب S₄ للمتتالية السابقة: S₄ = 2 × (1 – 3⁴) / (1 – 3) = 2 × (1 – 81) / (-2) = 2 × (-80) / (-2) = 80.

تمارين

تمرين 1: متتالية هندسية حدها الأول 5 وأساسها 2. أحسب u₅ والمجموع S₅.
تمرين 2: متتالية هندسية حيث u₂ = 6 و u₅ = 48. جد الأساس q والحد الأول u₁.
تمرين 3: مثلث قاعدته 4 سم وارتفاعه يتضاعف كل مرة. أحسب مساحة المثلث في التكرار الرابع.

المتتاليات: تعريف ورتابة ونهايات ← راجع درس المتتاليات

حل المعادلات من الدرجة الثانية ← راجع درس المعادلات