التكامل المحدد: مفهومه وطرق حسابه – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

التكامل المحدد: مفهومه وطرق حسابه

التكامل المحدد هو أداة رياضية لحساب المساحة تحت منحنى دالة في فترة معينة [a, b]. يمثل المساحة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات بين x = a و x = b. التكامل المحدد يرتبط بالتكامل غير المحدد عبر النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.

النظرية الأساسية

إذا كانت F(x) دالة أصلية لـ f(x) (أي أن F'(x) = f(x))، فإن: I(a,b) = F(b) – F(a). هذه النظرية تسمح بحساب التكامل المحدد بسهولة إذا عرفنا الدالة الأصلية.

خصائص التكامل المحدد

• I(a,b) f(x) dx = – I(b,a) f(x) dx
• I(a,b) [f(x) + g(x)] dx = I(a,b) f(x) dx + I(a,b) g(x) dx
• I(a,b) k f(x) dx = k I(a,b) f(x) dx
• إذا كان a < c < b، فإن I(a,b) f(x) dx = I(a,c) f(x) dx + I(c,b) f(x) dx

مثال تطبيقي

احسب التكامل من 0 إلى 2 لـ (x2 + 1) dx. الدالة الأصلية: F(x) = x3/3 + x. إذن: F(2) – F(0) = (8/3 + 2) – (0) = 8/3 + 2 = 14/3.

تمارين

1. احسب: (أ) I(1,3) x2 dx، (ب) I(0,1) (3×2 – 2x) dx، (جـ) I(0,pi) sin(x) dx.
2. احسب المساحة بين منحنى f(x) = x2 ومحور السينات بين x = 0 و x = 3.

خلاصة

التكامل المحدد أداة أساسية لحساب المساحات والحجوم والكميات الفيزيائية. يستخدم في الفيزياء (حساب العمل والطاقة) والهندسة (حساب المساحات والحجوم) والاقتصاد.