التحليل الرياضي: المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى

مقدمة في المعادلات التفاضلية

المعادلات التفاضلية معادلات تحتوي على مشتقات دالة مجهولة. هي أداة أساسية في الرياضيات التطبيقية والهندسة والفيزياء.

المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى

تحتوي على المشتقة الأولى فقط. الصورة العامة: dy/dx = f(x,y).

طرق الحل

• فصل المتغيارات (Separation of Variables): لمعادلات من الشكل dy/dx = g(x)h(y). مثال: حل dy/dx = xy → y = Ce^(x²/2).
• المعادلة التامة (Exact Equation): إذا كان ∂M/∂y = ∂N/∂x في M dx + N dy = 0.
• عامل التكامل (Integrating Factor): تحويل المعادلة غير التامة إلى تامة بضربها بدالة مناسبة.

تطبيقات

• قانون نيوتن للتبريد: dT/dt = -k(T – T₀).
• النمو السكاني: dP/dt = rP.
• تحلل المواد المشعة: dN/dt = -λN.