الجداء السلمي: التعبير التحليلي في معلم متعامد متجانس – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

الجداء السلمي: التعبير التحليلي في معلم متعامد متجانس

الجداء السلمي هو عملية أساسية في الهندسة التحليلية تسمح بحساب الأطوال والزوايا والمسافات. في هذا الدرس نتعلم التعبير التحليلي للجداء السلمي في معلم متعامد متجانس (O,i,j).

1. تعريف الجداء السلمي

الجداء السلمي لشعاعين u(x,y) و v(x’,y’) في معلم متعامد متجانس هو العدد الحقيقي: u·v = x×x’ + y×y’.

خاصيات: u·v = v·u (تبادلي)، u·(v+w) = u·v + u·w (توزيعي).

2. حساب طول شعاع والبعد بين نقطتين

طول الشعاع u(x,y) هو: ||u|| = √(x² + y²).

البعد بين A(xA,yA) و B(xB,yB) هو: AB = √((xB-xA)² + (yB-yA)²).

3. شرط التعامد

شعاعان u و v متعامدان إذا وفقط إذا كان جداؤهما السلمي معدوماً: u·v = 0.

4. تمارين تطبيقية

التمرين 1: أحسب الجداء السلمي للشعاعين u(3,2) و v(-1,4).

التمرين 2: بين أن النقط A(1,2), B(4,3), C(2,5) تشكل مثلثاً قائماً.

التمرين 3: أوجد قيمة m التي تجعل الشعاعين u(2,m) و v(3,-6) متعامدين.

5. الحلول

حل 1: u·v = 3×(-1) + 2×4 = -3 + 8 = 5.

حل 2: AB(3,1), AC(1,3), AB·AC = 3×1+1×3 = 6 ≠ 0. نتحقق من AC·BC: BC(-2,2), AC·BC = 1×(-2)+3×2 = 4. AB·BC = 3×(-2)+1×2 = -4. المثلث ليس قائماً!

حل 3: u·v = 2×3 + m×(-6) = 6 – 6m = 0 → m = 1.