الرياضيات — التكامل بالتجزئة: القاعدة والتطبيقات — الثالثة ثانوي — بكالوريا — المنهاج الجزائري

التكامل بالتجزئة: القاعدة والتطبيقات

التكامل بالتجزئة (Intégration par parties) من أهم تقنيات التكامل في الرياضيات. يستخدم هذا الأسلوب لتكامل حاصل ضرب دالتين، حيث يكون من الصعب تكامل كل منهما على حدة.

1. قاعدة التكامل بالتجزئة

إذا كانت u(x) و v(x) دالتين قابلتين للاشتقاق، فإن:
∫ u·dv = u·v – ∫ v·du
أو بصيغة أخرى:
∫ u(x)·v'(x) dx = u(x)·v(x) – ∫ v(x)·u'(x) dx

2. كيفية اختيار u و dv

لنجاح تطبيق قاعدة التكامل بالتجزئة، يجب اختيار u و dv بعناية. نستخدم قاعدة L.I.A.T.E:

L = Logarithmic functions (الدوال اللوغاريتمية)
I = Inverse trigonometric (الدوال المثلثية العكسية)
A = Algebraic (الدوال الجبرية)
T = Trigonometric (الدوال المثلثية)
E = Exponential (الدوال الأسية)

نختار u حسب الترتيب من الأعلى إلى الأسفل (L-I-A-T-E).

3. أمثلة تطبيقية

مثال 1: احسب ∫ x·eˣ dx
نختار u = x (دالة جبرية) و dv = eˣ dx (دالة أسية).
du = dx و v = eˣ.
∫ x·eˣ dx = x·eˣ – ∫ eˣ dx = x·eˣ – eˣ + C = eˣ(x – 1) + C

مثال 2: احسب ∫ ln(x) dx
نختار u = ln(x) (دالة لوغاريتمية) و dv = dx.
du = (1/x)dx و v = x.
∫ ln(x) dx = x·ln(x) – ∫ x·(1/x) dx = x·ln(x) – ∫ dx = x·ln(x) – x + C

4. التكامل بالتجزئة المتكرر

في بعض الحالات نحتاج لتطبيق القاعدة أكثر من مرة. مثلاً عند تكامل x²·eˣ dx، نطبق القاعدة مرتين.

5. تمارين مقترحة

التمرين 1: احسب ∫ x·cos(x) dx
التمرين 2: احسب ∫ x²·ln(x) dx
التمرين 3: احسب ∫ eˣ·sin(x) dx (ملاحظة: بعد تطبيق القاعدة مرتين، ستحصل على معادلة يمكن حلها).

للمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع، يمكنكم الاطلاع على دروس مشابهة: قوانين نيوتن للحركة و البكتيريا والفطريات.