الرياضيات — الاحتمالات: قانون الاحتمال الكلي وقانون بايز مع تطبيقات — الثالثة ثانوي — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الاحتمالات: قانون الاحتمال الكلي وقانون بايز

الاحتمالات (Probabilités) فرع من الرياضيات يدرس الظواهر العشوائية. قانونا بايز والاحتمال الكلي من أهم القوانين لحساب الاحتمالات الشرطية.

1. مفاهيم أساسية

التجربة العشوائية: تجربة نعرف نتائجها الممكنة لكن لا يمكن التنبؤ بنتيجتها مسبقاً.
فضاء العينة (Ω): مجموعة جميع النتائج الممكنة.
الحادث (Événement): مجموعة جزئية من Ω.
الاحتمال (Probabilité): عدد بين 0 و 1 يعبر عن إمكانية حدوث حادث.

2. الاحتمال الشرطي

احتمال حدوث حادث A بشرط حدوث حادث B: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) حيث P(B) > 0.

3. قانون الاحتمال الكلي

إذا كانت {A₁, A₂, …, Aₙ} مجموعة من الحوادث تشكل تجزيئاً لـ Ω (متنافية ومكملة)، فإن لكل حادث B:
P(B) = P(A₁)·P(B|A₁) + P(A₂)·P(B|A₂) + … + P(Aₙ)·P(B|Aₙ)

4. قانون بايز (Bayes)

يستخدم لحساب الاحتمالات الشرطية العكسية: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ) / P(B)
حيث P(B) يحسب بقانون الاحتمال الكلي.

مثال تطبيقي: اختبار طبي يكشف مرضاً بدقة 95%. إذا كانت نسبة المرض 1% في السكان، وكانت نتيجة شخص ما إيجابية، فما احتمال أن يكون مصاباً فعلاً؟ باستخدام قانون بايز، الجواب ≈ 16% فقط!

5. تمارين مقترحة

التمرين 1: صندوق يحتوي على 3 كرات حمراء و 7 زرقاء. تسحب كرتان بدون إرجاع. احسب احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء.
التمرين 2: في مصنع، آلة A تنتج 60% وآلة B تنتج 40%. نسبة العيوب في A هي 2% وفي B هي 5%. اخترع قطعة عشوائياً فكانت معيبة، ما احتمال أن تكون من آلة A؟

للمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع، يمكنكم الاطلاع على دروس مشابهة: قوانين نيوتن للحركة و الحلقات في بايثون.