الرياضيات — البرهان بالاستدلال: البرهان بالخلف والبرهان بالتراجع — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

البرهان بالاستدلال: البرهان بالخلف والبرهان بالتراجع

البرهان الرياضي هو عملية إثبات صحة عبارة رياضية باستخدام قواعد المنطق والاستدلال. توجد عدة طرق للبرهان منها البرهان بالخلف والبرهان بالتراجع. في هذا الدرس سنتعرف على هذه الطرق.

البرهان المباشر

البرهان المباشر هو أبسط أنواع البرهان. نبدأ من الفرضيات (المعطيات) ونطبق قواعد الاستدلال والنتائج المعروفة للوصول إلى النتيجة المطلوبة. مثال: لإثبات أن مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي، نكتب: ليكن a=2k و b=2l عددين زوجيين، فإن a+b=2k+2l=2(k+l) وهو عدد زوجي.

البرهان بالخلف

في البرهان بالخلف، نبدأ من النتيجة المطلوب إثباتها ونشتق منها فرضيات معروفة الصحة. إذا كانت الفرضيات المستنتجة صحيحة وكانت الاستدلالات عكسية (يمكن الرجوع من النتيجة إلى الفرضيات)، فإن النتيجة صحيحة. تستخدم هذه الطريقة غالبا لحل المعادلات والمتراجحات.

البرهان بالتراجع (الاستدلال بالتضاد)

البرهان بالتراجع أو الاستدلال بالتضاد: لإثبات أن p => q، نثبت أن نفي q يؤدي إلى نفي p. أي نثبت أن NOT q => NOT p. مثال: لإثبات أنه إذا كان x2 زوجيا فإن x زوجي، نثبت أنه إذا كان x فرديا فإن x2 فردي.

تمارين

تمرين 1: برهن بالطريقة المباشرة أن مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي.

تمرين 2: استخدم البرهان بالتراجع لإثبات: إذا كان 3n+2 فرديا فإن n فردي.

للمزيد: العمليات على الأعداد الحقيقية و المعادلات من الدرجة الأولى.