الرياضيات — الدوال التآلفية: تمثيلها وخصائصها — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجزائري

الدوال التآلفية: تمثيلها وخصائصها

الدالة التآلفية هي دالة رياضية تأخذ الشكل f(x) = ax + b حيث a و b عددان حقيقيان. تُعد الدوال التآلفية من المفاهيم الأساسية في مادة الرياضيات للسنة الثانية متوسط، وهي تمثل علاقة خطية بين المتغير x وقيم الدالة f(x).

تعريف الدالة التآلفية

الدالة التآلفية هي دالة تُعرف بالعلاقة: f(x) = ax + b، حيث:

• a: معامل الدالة (الانحدار) ويُحدد اتجاه التمثيل البياني.
• b: الحد الثابت ويُمثل تقاطع التمثيل البياني مع محور التراتيب.
• x: المتغير المستقل.

مثال 1: لتكن f(x) = 2x + 3. احسب f(0), f(1), f(-1).

الحل: f(0) = 2×0 + 3 = 3، f(1) = 2×1 + 3 = 5، f(-1) = 2×(-1) + 3 = 1

التمثيل البياني للدالة التآلفية

التمثيل البياني للدالة التآلفية هو خط مستقيم. لتحديد هذا المستقيم، نحتاج إلى نقطتين فقط ثم نمد المستقيم.

مثال 2: مثل الدالة f(x) = -x + 2 بيانياً.

نحسب قيم f لـ x = 0: f(0) = 2 → النقطة A(0, 2)
نحسب f لـ x = 2: f(2) = 0 → النقطة B(2, 0)
نرسم المستقيم المار بالنقطتين A و B.

خاصيات الدالة التآلفية

• إذا كان a > 0 فالدالة متزايدة (المستقيم صاعد).
• إذا كان a < 0 فالدالة متناقصة (المستقيم نازل).
• إذا كان a = 0 فالدالة ثابتة (f(x) = b).
• معامل الدالة a يمثل الانحدار: a = (f(x₂) – f(x₁)) / (x₂ – x₁).

تطبيقات على الدوال التآلفية

مثال 3 (تطبيق عملي): يريد أحمد شراء هاتف ثمنه 10000 دينار. يدفع 1500 دينار شهرياً على أقساط. اكتب دالة المبلغ المتبقي بدلالة عدد الأشهر.

الحل: f(x) = 10000 – 1500x، حيث x عدد الأشهر. f(x) دالة تآلفية ذات معامل سالب.

تمارين

1. لتكن g(x) = 3x – 1. احسب g(-2), g(0), g(½) وارسم التمثيل البياني.
2. أوجد معامل الدالة التآلفية h(x) التي تحقق h(1) = 5 و h(3) = 11.
3. هل الدالة k(x) = -4x + 7 متزايدة أم متناقصة؟ علل.

للمزيد من الشرح حول المعادلات يمكنكم زيارة درس المعادلات من الدرجة الأولى وكذلك نظرية فيثاغورس لتقوية أساسياتكم في الرياضيات.