الرياضيات — الدوال اللوغاريتمية: دراسة الدالة ln(x) وخصائصها — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدوال اللوغاريتمية: دراسة الدالة ln(x) وخصائصها

مقدمة

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية (ln(x)) هي الدالة العكسية للدالة الأسية e^x. تعتبر من أهم الدوال في التحليل الرياضي والعلوم التطبيقية.

تعريف الدالة ln(x)

الدالة ln هي الدالة المعرفة على ]0, +∞[ والتي تحقق: لكل x>0، ln'(x) = 1/x و ln(1) = 0. العلاقة الأساسية: ln(a×b) = ln(a) + ln(b).

خصائص اللوغاريتم النيبيري

• ln(x) > 0 إذا x > 1
• ln(x) < 0 إذا 0 < x < 1
• ln(x×y) = ln(x) + ln(y)
• ln(x/y) = ln(x) – ln(y)
• ln(xⁿ) = n×ln(x)
• ln(e) = 1 و ln(1) = 0

التمثيل البياني

منحنى الدالة ln(x) يمر بالنقطة (1,0) و (e,1). الدالة متزايدة تماماً على مجال تعريفها. المنحنى يقترب من محور التراتيب (المعادلة x=0 خط مقارب).

مثال تطبيقي

حل المعادلة: ln(2x-1) = ln(x+3). نستخدم التساوي: 2x-1 = x+3 → x = 4. نتحقق: 2×4-1=7>0 و 4+3=7>0، الحل صحيح.

تمارين

1. حل: ln(x²-5x+6) = 0
2. حل المتراجحة: ln(2x+3) > ln(x-1)
3. احسب: ln(e³) و ln(√e) و ln(1/e²)

خلاصة

الدالة اللوغاريتمية أداة أساسية في الرياضيات والفيزياء والكيمياء. للمزيد: الدوال اللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها وتمثيلها البياني – الدوال الأسية: تعريفها وخصائصها