الرياضيات — الترتيب والقيمة المطلقة: خصائص وتطبيقات — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الترتيب والقيمة المطلقة: خصائص وتطبيقات

الترتيب في الأعداد الحقيقية والقيمة المطلقة مفهومان أساسيان في الرياضيات. في هذا الدرس سنتعرف على خصائصهما وتطبيقاتهما.

أولاً: الترتيب في ℝ

• نقول أن العدد a أصغر من العدد b (a < b) إذا كان b – a > 0.
• إذا كان a < b فإن a + c < b + c لكل c ∈ ℝ.
• إذا كان a < b و c > 0 فإن ac < bc.
• إذا كان a < b و c < 0 فإن ac > bc (عكس الترتيب).
• إذا كان 0 < a < b فإن a² < b² و √a < √b و 1/a > 1/b.

ثانياً: القيمة المطلقة

القيمة المطلقة لعدد حقيقي x، ونرمز لها بـ |x|، تعرف كما يلي:
|x| = x إذا كان x ≥ 0
|x| = -x إذا كان x < 0

• |x| ≥ 0 لكل x ∈ ℝ.
• |x| = 0 ⇔ x = 0.
• |xy| = |x| × |y|.
• |x + y| ≤ |x| + |y| (المتراجحة المثلثية).
• |x – a| يمثل المسافة بين x و a على مستقيم الأعداد.

مثال تطبيقي

احسب: أ) |3| = 3, ب) |-5| = 5, ج) |2 – 7| = |-5| = 5

حل المتراجحة |x – 2| ≤ 3: هذا يعني -3 ≤ x – 2 ≤ 3 → -1 ≤ x ≤ 5. إذن x ∈ [-1, 5].

تمارين

1. أحسب: |4 – 9|, |-2 + 7|, |3 × (-5)|.
2. قارن العددين a و b إذا علمت أن a – b = 5.
3. حل المتراجحات: أ) |x + 1| ≤ 2, ب) |x – 3| > 4.

روابط مفيدة

للمزيد من التمارين، راجع درس المتراجحات من الدرجة الثانية ودرس المعادلات من الدرجة الثانية.