الرياضيات — حل المعادلات من الدرجة الثانية بطريقة إكمال المربع — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

حل المعادلات من الدرجة الثانية بطريقة إكمال المربع

طريقة إكمال المربع (Complétion du carré / Completing the square) هي إحدى الطرق الأساسية لحل المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد. تعتمد هذه الطريقة على تحويل المعادلة من الصورة العامة ax² + bx + c = 0 إلى صورة (x + p)² = q ومن ثم إيجاد الحلول.

أولاً: الصورة العامة للمعادلة من الدرجة الثانية

المعادلة من الدرجة الثانية تكتب على الشكل: ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0 و a, b, c أعداد حقيقية.

ثانياً: خطوات طريقة إكمال المربع

الخطوة 1: نقسم جميع الحدود على معامل x² (أي a) إذا كان a ≠ 1.

الخطوة 2: ننقل الحد الثابت c/a إلى الطرف الأيمن.

الخطوة 3: نضيف إلى الطرفين مربع نصف معامل x (أي (b/2a)²) لإكمال المربع.

الخطوة 4: نكتب الطرف الأيسر على شكل مربع كامل (x + b/2a)².

الخطوة 5: نحل المعادلة الناتجة بإيجاد الجذر التربيعي للطرفين.

مثال محلول 1:

حل المعادلة: x² + 6x + 5 = 0

الحل:

• الخطوة 1: a = 1 (لا حاجة للقسمة)
• الخطوة 2: x² + 6x = -5
• الخطوة 3: معامل x هو 6، نصفه 3، مربعه 9. نضيف 9 للطرفين: x² + 6x + 9 = -5 + 9
• الخطوة 4: (x + 3)² = 4
• الخطوة 5: x + 3 = ±√4 = ±2
• إذن: x₁ = -3 + 2 = -1 و x₂ = -3 – 2 = -5

مجموعة الحلول: S = {-5, -1}

مثال محلول 2:

حل المعادلة: 2x² – 4x – 6 = 0

الحل:

• الخطوة 1: نقسم على 2: x² – 2x – 3 = 0
• الخطوة 2: x² – 2x = 3
• الخطوة 3: نصف معامل x هو -1، مربعه 1. نضيف 1: x² – 2x + 1 = 3 + 1
• الخطوة 4: (x – 1)² = 4
• الخطوة 5: x – 1 = ±2 → x = 1 ± 2
• إذن: x₁ = 3 و x₂ = -1

مثال محلول 3 (معادلة ليس لها حلول حقيقية):

حل المعادلة: x² + 2x + 5 = 0

الحل: x² + 2x = -5 → x² + 2x + 1 = -5 + 1 → (x + 1)² = -4

لا يوجد عدد حقيقي مربعه يساوي -4، إذن لا توجد حلول حقيقية (المعادلة ليس لها حل في ℝ).

ثالثاً: العلاقة بين إكمال المربع والمميز Δ

باستخدام إكمال المربع على الصورة العامة ax² + bx + c = 0 نحصل على:

(x + b/2a)² = (b² – 4ac) / 4a²

حيث Δ = b² – 4ac هو المميز (Discriminant).

• إذا كان Δ > 0: للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان
• إذا كان Δ = 0: للمعادلة حل حقيقي مضاعف (حل واحد)
• إذا كان Δ < 0: لا توجد حلول حقيقية

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

حل المعادلات التالية بطريقة إكمال المربع:

أ) x² + 4x – 12 = 0
ب) x² – 10x + 21 = 0
جـ) 3x² – 6x + 2 = 0

التمرين 2:

باستخدام طريقة إكمال المربع، بين أن المعادلة x² + x + 1 = 0 ليس لها حلول في ℝ.

التمرين 3:

حل المعادلة 4x² – 12x + 9 = 0 بطريقتين مختلفتين (إكمال المربع والمميز) وقارن النتائج.

التمرين 4:

عبر عن المساحة التالية على شكل مربع كامل: x² + 8x + 16.

للمزيد من الدروس حول المعادلات من الدرجة الثانية، يمكنكم الاطلاع على درس المعادلات من الدرجة الثانية: المميز وطرق الحل وكذلك درس المتراجحات من الدرجة الثانية: جدول الإشارة.