الرياضيات — المعادلات: حل معادلات تتضمن القيمة المطلقة — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المعادلات: حل معادلات تتضمن القيمة المطلقة

القيمة المطلقة (Valeur absolue / Absolute value) لعدد حقيقي x هي المسافة بين العدد x والصفر على مستقيم الأعداد. نرمز للقيمة المطلقة بالرمز |x|.

أولاً: تعريف القيمة المطلقة

|x| = x إذا كان x ≥ 0

|x| = -x إذا كان x < 0

أمثلة: |5| = 5، |-3| = 3، |0| = 0

ثانياً: خصائص القيمة المطلقة

• |a × b| = |a| × |b|
• |a / b| = |a| / |b| (حيث b ≠ 0)
• |a + b| ≤ |a| + |b| (المتراجحة المثلثية)
• |a| = |-a|
• |a|² = a²

ثالثاً: حل معادلات تتضمن قيمة مطلقة

الحالة 1: معادلة من الشكل |x| = a حيث a عدد حقيقي

• إذا كان a < 0: لا يوجد حل
• إذا كان a = 0: x = 0 (حل وحيد)
• إذا كان a > 0: x = a أو x = -a

مثال محلول 1:

حل المعادلة: |x – 3| = 5

الحل:

• x – 3 = 5 أو x – 3 = -5
• x = 8 أو x = -2

مجموعة الحلول: S = {-2, 8}

الحالة 2: معادلة من الشكل |ax + b| = c

نفس المبدأ: نكتب ax + b = c أو ax + b = -c

مثال محلول 2:

حل المعادلة: |2x + 1| = 3

الحل:

• 2x + 1 = 3 أو 2x + 1 = -3
• 2x = 2 أو 2x = -4
• x = 1 أو x = -2

الحالة 3: معادلة من الشكل |ax + b| = |cx + d|

ax + b = cx + d أو ax + b = -(cx + d)

مثال محلول 3:

حل المعادلة: |x – 2| = |x + 4|

الحل:

• x – 2 = x + 4 → -2 = 4 (مستحيل)
• x – 2 = -(x + 4) → x – 2 = -x – 4 → 2x = -2 → x = -1

مجموعة الحلول: S = {-1}

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

حل المعادلات التالية:
أ) |x| = 7
ب) |x + 2| = 4
جـ) |3x – 1| = 8

التمرين 2:

حل المعادلة: |x + 1| = |x – 3|

التمرين 3:

حل المعادلات التي ليس لها حل: لماذا لا يمكن أن يكون |x| = -5؟

التمرين 4:

مثل على مستقيم الأعداد حلول المعادلة |x – 1| = 3.

للمزيد حول المعادلات، راجع درس المعادلات من الدرجة الثانية: المميز وطرق الحل وكذلك درس القيمة المطلقة: تعريف وخصائص وتمثيل.