الرياضيات — الحساب المتجهي: العلاقة بين شعاعين — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الحساب المتجهي: العلاقة بين شعاعين

في هذا الدرس سنتناول مفهوم الحساب المتجهي والعلاقات الأساسية بين الشعاعين في المستوى. يعتبر الحساب المتجهي أداة رياضية أساسية لفهم الهندسة التحليلية والفيزياء.

أولاً: تعريف الشعاع

الشعاع هو قطعة مستقيمة موجهة، له نقطة بداية ونقطة نهاية، ويتميز بثلاث خصائص: الاتجاه والمنحى والطول (المنظم). نرمز للشعاع بالرمز →AB حيث A نقطة البداية و B نقطة النهاية.

ثانياً: العلاقة بين شعاعين

نقول عن شعاعين →AB و →CD أنهما متساويان إذا كان لهما نفس الاتجاه ونفس المنحى ونفس الطول، أي: →AB = →CD. أما إذا كان لهما نفس الاتجاه ولكن منحيين متعاكسين، فهما متعاكسان ويكتب: →AB = -→CD.

ثالثاً: عمليات على الشعاعين

• الجمع: →AB + →BC = →AC (علاقة شال)
• الطرح: →AB – →AC = →CB
• الضرب في عدد حقيقي: إذا كان k عدداً حقيقياً فإن k×→AB هو شعاع طوله |k| أضعاف طول →AB واتجاهه نفس اتجاه →AB إذا كان k>0 وعكسه إذا كان k<0

مثال تطبيقي

إذا كان لدينا الشعاعان →AB و →CD حيث A(1,2), B(4,6), C(2,3), D(5,7)، فإن:

→AB = (4-1, 6-2) = (3,4)
→CD = (5-2, 7-3) = (3,4)
وبما أن مركبتيهما متساويتان، فإن →AB = →CD

تمارين

1. إذا كان A(1,1), B(3,5), C(0,0), D(2,4)، هل الشعاعان →AB و →CD متساويان؟
2. احسب →AB + →BC إذا كان A(0,0), B(2,3), C(5,1)
3. إذا كان →AB = (2,3) و k=4، احسب 4×→AB

روابط مفيدة

للمزيد من المعلومات حول المفاهيم الأساسية، راجع درس الهندسة التحليلية: معادلة مستقيم في المستوى، وكذلك درس المعادلات من الدرجة الثانية.