مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
المرجح في المستوى: تعريفه وخصائصه
المرجح أو مركز الثقل هو أحد المفاهيم الأساسية في الهندسة المستوية، وله تطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة. في هذا الدرس، سنتعرف على مفهوم المرجح لنقطتين وثلاث نقاط في المستوى، مع دراسة الخصائص الأساسية وطرق الإنشاء.
أولاً: مرجح نقطتين
ليكن لدينا نقطتان A و B في المستوى. نسمي مرجح النقطتين A و B المرفقتين بالمعاملين a و b (حيث a + b != 0) النقطة G التي تحقق العلاقة المتجهية:
a.GA + b.GB = 0
يمكن إعادة كتابة هذه العلاقة بدلالة متجهة واحدة:
AG = (b/(a+b)).AB
مثال 1:
إذا كان A و B نقطتين في المستوى، و G مرجح (A,2) و (B,1)، فإن:
2.GA + 1.GB = 0
أي 2.GA + (GA + AB) = 0
إذن 3.GA + AB = 0, 3.GA = -AB, GA = -(1/3).AB
وبالتالي AG = (1/3).AB
ثانياً: مرجح ثلاث نقاط
ليكن A و B و C ثلاث نقاط في المستوى. نسمي مرجح النقاط A و B و C المرفقة بالمعاملات a و b و c (حيث a + b + c != 0) النقطة G التي تحقق:
a.GA + b.GB + c.GC = 0
مثال 2:
أوجد مرجح النقاط A(1,2) و B(3,4) و C(5,0) بالمعاملات a=1, b=2, c=1.
لدينا: 1.GA + 2.GB + 1.GC = 0
نكتب: (G – A) + 2(G – B) + (G – C) = 0
4G = A + 2B + C
G = (A + 2B + C)/4
G = ((1+6+5)/4 , (2+8+0)/4) = (12/4, 10/4) = (3, 2.5)
ثالثاً: خصائص المرجح
- التجانس: إذا ضربنا جميع المعاملات في نفس العدد غير المعدوم، فإن المرجح لا يتغير.
- التجميع: يمكن تجميع بعض النقاط لحساب المرجح جزئياً ثم كلياً.
- مرجح نقطتين متساويتي المعامل: هو منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بينهما.
- إذا كان G مرجح (A,a) و (B,b)، فإن G تنتمي إلى المستقيم AB.
رابعاً: إنشاء المرجح
لإنشاء مرجح نقطتين A و B بالمعاملين a و b، يمكن:
- نرسم المتجهة a.AB في الاتجاه المناسب.
- نقسمها بنسبة b/(a+b) للحصول على النقطة G.
تمارين تطبيقية
التمرين 1:
النقط A و B و C هي رؤوس مثلث. عين مرجح (A,2) و (B,3) و (C,1).
الحل: نكتب: 2.GA + 3.GB + 1.GC = 0
2(G – A) + 3(G – B) + (G – C) = 0
6G = 2A + 3B + C
G = (2A + 3B + C)/6
التمرين 2:
ABC مثلث، و G مرجح (A,1) و (B,2) و (C,3). أحسب AG بدلالة AB و AC.
الحل: 1.GA + 2.GB + 3.GC = 0
GA + 2(GA + AB) + 3(GA + AC) = 0
6GA + 2AB + 3AC = 0
6GA = -2AB – 3AC
AG = (1/3)AB + (1/2)AC
التمرين 3:
في معلم متعامد ومتجانس، النقط: A(2,1) و B(-1,3) و C(4,-2). أحسب إحداثيات مرجح G لهذه النقاط بالمعاملات 2, 1, 3 على الترتيب.
الحل: G = (2A + B + 3C)/6
xG = (2×2 + (-1) + 3×4)/6 = (4 – 1 + 12)/6 = 15/6 = 2.5
yG = (2×1 + 3 + 3x(-2))/6 = (2 + 3 – 6)/6 = -1/6
الربط مع دروس أخرى
يمكنك مراجعة درس الهندسة التحليلية: معادلة الدائرة لفهم تطبيقات المرجح في المعادلات، وكذلك درس المتتاليات العددية: تقارب المتتاليات لربط المفاهيم الرياضية.
