الرياضيات — التحاكي: تعريفه وخصائصه وتطبيقاته — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

التحويلات النقطية: التحاكي (Homothety)

التحاكي هو تحويل نقطي يحافظ على الزوايا ويغير الأبعاد بنسبة ثابتة. يُستخدم في العديد من التطبيقات الهندسية والعملية، مثل التصغير والتكبير في الخرائط والرسومات الهندسية.

أولاً: تعريف التحاكي

التحاكي أو التجانس هو تحويل يحول كل نقطة M من المستوى إلى نقطة M’ تحقق:

إذا كان التحاكي مركزه O ومعامله k (حيث k != 0)، فإن: OM’ = k.OM

حيث k هو معامل التحاكي (نسبة التكبير إذا كان k > 1، أو التصغير إذا كان 0 < k < 1).

مثال 1:

إذا كان O مركز تحاكي و k = 2، فإن صورة النقطة M هي النقطة M’ حيث OM’ = 2.OM (تكبير).

وإذا كان k = 1/2، فإن OM’ = (1/2).OM (تصغير).

ثانياً: خصائص التحاكي

• حفظ الاستقامة: صورة مستقيم هو مستقيم يوازيه.
• حفظ الزوايا: التحاكي يحافظ على قياس الزوايا.
• حفظ النسب: إذا كان A’ و B’ هما صورتي A و B على التوالي، فإن A’B’ = |k|.AB
• المركز الثابت: مركز التحاكي O هو النقطة الوحيدة الثابتة (صورتها هي نفسها).
• إذا كان k = 1، فإن التحاكي هو تحويل المطابقة (كل نقطة صورتها نفسها).
• إذا كان k = -1، فإن التحاكي هو المركـز (تناظر مركزي).

ثالثاً: تأثير التحاكي على الأشكال الهندسية

لتحاكي مركز O ومعامل k تأثير مباشر على الأشكال:

• المستقيم: صورته مستقيم يوازي الأصل.
• الدائرة: صورتها دائرة نصف قطرها مضروب في |k|.
• المثلث: صورته مثلث متشابه مع الأصل بنسبة تشابه |k|.
• المضلع: صورته مضلع متشابه مع الأصل.

مثال 2:

إذا كان لدينا مثلث ABC، وأجرينا تحاكي مركزه O ومعامله k = 2، نحصل على المثلث A’B’C’ الذي طول أضلاعه ضعف أضلاع ABC ومساحته 4 أضعاف.

رابعاً: تطبيقات التحاكي

• الخرائط: تكبير وتصغير الخرائط بنسب محددة.
• الهندسة المعمارية: تصميم نماذج مصغرة للمباني.
• البصريات: في العدسات المكبرة والعدسات المكثفة.
• الرسوميات الحاسوبية: تغيير حجم الصور والرسومات.

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

ABCD مربع طول ضلعه 4 cm. أجرينا تحاكي مركزه A ومعامله k = 1.5. أحسب طول ضلع المربع A’B’C’D’ (صورة ABCD).

الحل: طول ضلع المربع الصورة = 1.5 x 4 = 6 cm.

التمرين 2:

إذا كان التحاكي H مركزه O(1,2) ومعامله k = 3، أحسب إحداثيات صورة النقطة M(2,-1).

الحل: OM’ = 3.OM
M’ = O + 3.(M – O) = (1,2) + 3(1,-3) = (1 + 3, 2 – 9) = (4, -7)

التمرين 3:

في المستوى، لدينا النقط A(0,0) و B(2,0) و C(2,3). أوجد صورة المثلث ABC بتحاكي مركزه O(0,0) ومعامله k = 0.5.

الحل: A’ = (0,0)، B’ = (1,0)، C’ = (1,1.5). المثلث A’B’C’ يشبه المثلث ABC ونسبة التشابه 0.5.

الربط مع دروس أخرى

يرتبط التحاكي ارتباطاً وثيقاً بدرس التحويلات النقطية: الانسحاب والدوران حيث تشكل جميعها مجموعة التحويلات الهندسية. كما يمكنك مراجعة درس الهندسة التحليلية: معادلة الدائرة لتطبيقات التحاكي على الدائرة.

📍 دروس مشابهة

• النهايات والاستمرارية
• رتابة المتتاليات
• الاشتقاق