مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
التفاضل والتكامل: قواعد التفاضل
\n
يعتبر التفاضل أحد الركائز الأساسية للتحليل الرياضي. يهتم التفاضل بدراسة معدلات التغير والمنحنيات والظلال. يستخدم في مجالات واسعة من الفيزياء والهندسة والاقتصاد وعلوم الحاسوب.
\n
أولا: مفهوم المشتقة (Derivative)
\n
المشتقة هي مقياس لمعدل تغير دالة بالنسبة لمتغيرها. إذا كانت الدالة f(x) معرفة على مجال مفتوح يحتوي على x، فإن مشتقتها عند النقطة x تعرف بالنهاية: f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h. ترمز المشتقة بالرمز f'(x) أو df/dx. المفسير الهندسي للمشتقة هو ميل المماس للمنحنى عند النقطة.
\n
ثانيا: قواعد التفاضل الأساسية
\n
- \n
- مشتقة الثابت: d(c)/dx = 0، مشتقة أي عدد ثابت تساوي صفرا.
- قاعدة القوة: d(x^n)/dx = n.x^(n-1).
- قاعدة الجمع والطرح: d[f(x)±g(x)]/dx = f'(x)±g'(x).
- قاعدة الضرب: d[f(x).g(x)]/dx = f'(x).g(x) + f(x).g'(x).
- قاعدة القسمة: d[f(x)/g(x)]/dx = [f'(x).g(x) – f(x).g'(x)]/[g(x)]².
- قاعدة السلسلة: d[f(g(x))]/dx = f'(g(x)).g'(x)، تستخدم لتفاضل الدوال المركبة.
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
ثالثا: مشتقات الدوال الشهيرة
\n
- \n
- d(sin x)/dx = cos x
- d(cos x)/dx = -sin x
- d(e^x)/dx = e^x
- d(ln x)/dx = 1/x
- d(tan x)/dx = sec² x
\n
\n
\n
\n
\n
\n
رابعا: تطبيقات التفاضل
\n
تستخدم المشتقات في إيجاد القيم العظمى والصغرى للدوال (تحسين)، رسم المنحنيات (نقاط الانعطاف والتقعر)، حساب السرعة والتسارع في الفيزياء، والتكلفة الحدية والإيراد الحدي في الاقتصاد.
\n
مثال تطبيقي:
\n
لنوجد مشتقة الدالة f(x) = 3x³ + 2x² – 5x + 7. باستخدام قاعدة القوة: f'(x) = 9x² + 4x – 5. لتطبيق اقتصادي: دالة التكلفة الكلية C(x)=100+5x+0.1x²، التكلفة الحدية MC = C'(x) = 5+0.2x. عند إنتاج 50 وحدة، MC=15 دينارا.
\n
خلاصة
\n
التفاضل أداة رياضية أساسية لفهم التغير وتحليل الظواهر الطبيعية والاقتصادية. للمزيد راجع دروسنا في الرياضيات الجامعية: النهايات والاتصال وطرق التكامل.