موضوع امتحان بكالوريا 2022 في الرياضيات مع الحل – شعبة تقني رياضي

التمرين الأول: الأعداد العقدية (05 نقاط)

نعتبر العدد العقدي: z = (1+i)/(1-i)

1. اكتب z على الشكل الجبري.
2. اكتب z على الشكل المثلثي.
3. استنتج cos(pi/2) و sin(pi/2).
4. احسب z^2022.

التمرين الثاني: المتتاليات (05 نقاط)

المتتالية (un) معرفة بـ: u0=1 و un+1 = 2un + 1

1. أحسب u1, u2, u3.
2. بين بالتراجع أن un > 0 لكل n.
3. ادرس رتابة المتتالية.
4. اعتبر vn = un + 1. بين أن (vn) هندسية.
5. اكتب un بدلالة n.
6. احسب lim un عندما n يؤول إلى +inf.

التمرين الثالث: الدوال اللوغاريتمية (05 نقاط)

f(x) = ln(1+x) – x, x > -1

1. ادرس اتجاه تغير f.
2. بين أن f(x) <= 0 لكل x > -1.
3. استنتج أن ln(1+x) <= x لكل x > -1.
4. بين أنه لكل n طبيعي: ln(1+1/n) <= 1/n.

التمرين الرابع: الاحتمالات (05 نقاط)

صندوق يحتوي على 6 كريات حمراء و 4 كريات بيضاء. نسحب 3 كريات آنيا.

1. احسب عدد السحوبات الممكنة.
2. احسب احتمال الحصول على 3 كريات حمراء.
3. احسب احتمال الحصول على كريتين حمراوين وواحدة بيضاء.
4. X متغير عشوائي = عدد الكريات الحمراء المسحوبة. عين قانون احتمال X.

حل التمرين الأول

1. الشكل الجبري: z = (1+i)/(1-i) = (1+i)2/((1-i)(1+i)) = (1+2i-1)/2 = i
2. الشكل المثلثي: z = cos(pi/2) + i sin(pi/2)
3. cos(pi/2)=0, sin(pi/2)=1
4. z^2022 = i^2022 = (i^4)^505 x i^2 = 1^505 x (-1) = -1

حل التمرين الثاني

1. u1=3, u2=7, u3=15
2. u0=1>0. نفرض un>0. un+1=2un+1>0. إذن لكل n, un>0.
3. un+1 – un = 2un+1 – un = un+1 > 0. إذن المتتالية متزايدة.
4. vn = un+1. vn+1 = un+1+1 = 2un+2 = 2(un+1) = 2vn. إذن (vn) هندسية أساسها 2 وحدها v0=2.
5. vn = 2×2^n = 2^(n+1). إذن un = 2^(n+1) – 1.
6. lim un = +inf

حل التمرين الثالث

1. f'(x) = 1/(1+x) – 1 = (1-(1+x))/(1+x) = -x/(1+x). f'(x)>0 على (-1,0) وf'(x)<0 على (0,+inf). f متزايدة على (-1,0] ومتناقصة على [0,+inf).
2. f(0)=0. f(x) <= f(0) = 0. إذن f(x) <= 0.
3. f(x) = ln(1+x)-x <= 0 يعني ln(1+x) <= x.
4. بوضع x=1/n: ln(1+1/n) <= 1/n.

حل التمرين الرابع

1. C(10,3) = 120 سحب.
2. P(3R) = C(6,3)/120 = 20/120 = 1/6.
3. P(2R,1B) = (C(6,2)xC(4,1))/120 = (15×4)/120 = 60/120 = 1/2.
4. X peut prendre 0,1,2,3.
   P(X=0)=C(4,3)/120=4/120=1/30
   P(X=1)=(C(6,1)xC(4,2))/120=(6×6)/120=36/120=3/10
   P(X=2)=C(6,2)xC(4,1)/120=60/120=1/2
   P(X=3)=C(6,3)/120=20/120=1/6

📚 مواضيع ذات صلة

• درس الأعداد العقدية
• درس المتتاليات العددية
• درس الاحتمالات