التكامل (Intégrales) في الرياضيات: حساب التكامل وطرقه وتطبيقاته (حساب المساحات) مع تمارين بكالوريا محلولة — الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات — المنهاج الجزائري

التكامل (Intégrales) في الرياضيات

التكامل من أهم المواضيع في بكالوريا رياضيات. يستخدم لحساب المساحات والحجوم، وهو العملية العكسية للاشتقاق. يأتي دائماً في التمرين الثالث أو الرابع في امتحان البكالوريا.

1. تعريف التكامل

إذا كانت F دالة أصلية للدالة f على مجال I، فإن التكامل المحدد من a إلى b هو:

∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)

2. خصائص التكامل

الخاصية	الصيغة الرياضية
الخطية	∫ (f+g) = ∫ f + ∫ g
ضرب ثابت	∫ k·f(x) dx = k ∫ f(x) dx
علاقة شال (Chasles)	∫ab f = ∫ac f + ∫cb f
التكامل والترتيب	إذا f ≤ g فإن ∫ f ≤ ∫ g
القيمة المطلقة	|∫ f| ≤ ∫ |f|

3. طرق حساب التكامل

• باستخدام الدوال الأصلية: جدول الدوال الأصلية الأساسية
• التكامل بالتجزئة (IPP): ∫ u·dv = u·v – ∫ v·du
• التكامل بالتعويض: تغيير المتغير لتبسيط التكامل

4. حساب المساحات باستخدام التكامل

المساحة المحصورة بين منحني الدالة f ومحور الفواصل من x=a إلى x=b هي:

S = ∫_a^b |f(x)| dx

المساحة المحصورة بين منحنيي دالتين f و g من x=a إلى x=b هي:

S = ∫_a^b |f(x) – g(x)| dx

📝 تمرين بكالوريا محلول

التمرين: احسب التكامل التالي: I = ∫₁² (3x² + 2x – 1) dx

الحل:
F(x) = x³ + x² – x (دالة أصلية لـ f(x)=3x²+2x-1)
I = F(2) – F(1)
F(2) = 2³ + 2² – 2 = 8 + 4 – 2 = 10
F(1) = 1³ + 1² – 1 = 1 + 1 – 1 = 1
I = 10 – 1 = 9

التمرين 2 (بكالوريا): احسب مساحة الحيز المحصور بين منحني الدالة f(x)=x²-4x+3 ومحور الفواصل في المجال [1, 3].

الحل:
f(x) = x²-4x+3 = (x-1)(x-3) → تساوي صفر عند x=1 و x=3
على [1,3]: f(x) ≤ 0 (المنحني تحت محور الفواصل)
S = -∫₁³ (x²-4x+3) dx = -[x³/3 – 2x² + 3x]₁³
= -[(9-18+9) – (1/3-2+3)] = -[0 – (4/3)] = 4/3 u.a.

📌 الخلاصة

التكامل أداة قوية لحساب المساحات والحجوم. احفظ جيداً جدول الدوال الأصلية وطريقة التكامل بالتجزئة.

📍 دروس مشابهة:
الدوال الأصلية: تعريفها وطرق حسابها مع تمارين بكالوريا محلولة
الدوال اللوغاريتمية (Logarithmes Népériens): تعريف وخصائص مع تمارين بكالوريا محلولة