الدوال الأصلية: تعريفها وطرق حسابها مع تمارين بكالوريا محلولة — الثالثة ثانوي (بكالوريا) — الرياضيات

📘 مقدمة حول الدوال الأصلية

الدالة الأصلية (Primitive) هي مفهوم أساسي في التحليل الرياضي، وهي عكس عملية الاشتقاق. إذا كانت F دالة أصلية للدالة f على مجال I، فإن F'(x) = f(x) لكل x∈I. تعتبر الدوال الأصلية المدخل الرئيسي لحساب التكاملات.

🎯 الأهداف التعليمية

• فهم مفهوم الدالة الأصلية والعلاقة بينها وبين الاشتقاق
• إتقان حساب الدوال الأصلية للدوال الاعتيادية
• تطبيق تقنيات إيجاد الدوال الأصلية في مسائل البكالوريا

📚 تعريف الدالة الأصلية

تعريف: لتكن f دالة معرفة على مجال I⊂ℝ. نسمي دالة أصلية لـ f على I كل دالة F قابلة للاشتقاق على I وتحقق: F'(x) = f(x) لكل x∈I.

ملاحظة مهمة: إذا كانت F دالة أصلية لـ f، فإن جميع الدوال الأصلية لـ f تكتب على الشكل: F(x) + C حيث C ثابت حقيقي.

📝 جدول الدوال الأصلية الأساسية

الدالة f(x)	الدالة الأصلية F(x)	المجال
f(x) = a (ثابت)	F(x) = ax + C	ℝ
f(x) = xⁿ (n≠-1)	F(x) = xⁿ⁺¹/(n+1) + C	ℝ (أو ℝ*⁺)
f(x) = 1/x	F(x) = ln|x| + C	ℝ*
f(x) = eˣ	F(x) = eˣ + C	ℝ
f(x) = cos x	F(x) = sin x + C	ℝ
f(x) = sin x	F(x) = -cos x + C	ℝ

📌 خاصيات الدوال الأصلية

إذا كانت F و G دالتين أصليتين لـ f و g على الترتيب، فإن:

• الدالة F + G هي دالة أصلية لـ f + g
• إذا كان k∈ℝ فإن kF دالة أصلية لـ kf
• إذا كانت f مشتقة دالة u، فإن f(u(x))·u'(x) دالتها الأصلية F(u(x))

✏️ تمارين بكالوريا محلولة

التمرين 01:

أوجد الدالة الأصلية للدالة f(x) = 3x² + 2x + 1 التي تمر من النقطة (0, 5).

الحل:
F(x) = ∫(3x² + 2x + 1)dx = x³ + x² + x + C
عند x=0: F(0) = 0 + 0 + 0 + C = 5 → C = 5
إذن F(x) = x³ + x² + x + 5

التمرين 02 (بكالوريا):

احسب الدالة الأصلية للدالة f(x) = (2x+1)/(x²+x+1) على المجال ℝ.

الحل:
نلاحظ أن البسط هو مشتقة المقام: (x²+x+1)’ = 2x+1
إذن F(x) = ln|x²+x+1| + C

📋 الخلاصة

• الدالة الأصلية هي العملية العكسية للاشتقاق
• توجد لـ f عدد لا نهائي من الدوال الأصلية تختلف بثابت C
• جدول الدوال الأصلية الأساسية يجب حفظه جيداً لاجتياز امتحان البكالوريا
• معرفة الاشتقاق تساعد في التحقق من صحة الدالة الأصلية

📍 دروس مشابهة

• الاشتقاقية: قواعد الاشتقاق وتطبيقاتها
• الهندسة التحليلية في المستوي: المستقيمات والدوائر