الأعداد المركبة: تمثيلها وعملياتها مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات

الأعداد المركبة – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات

الأعداد المركبة (Les nombres complexes) من أهم محاور الرياضيات لشعبتي العلوم التجريبية والرياضيات في البكالوريا. تسمح بحل المعادلات من الدرجة الثانية ذات المميز السالب ولها تطبيقات في الهندسة والفيزياء.

أهداف الدرس:

• تعريف العدد المركب وتمثيله في المستوى
• إجراء العمليات على الأعداد المركبة
• حل المعادلات في مجموعة الأعداد المركبة
• استخدام الشكل المثلثي للأعداد المركبة

1. تعريف العدد المركب:

العدد المركب هو عدد من الشكل z = a + ib حيث a و b عددان حقيقيان و i الوحدة التخيلية (i² = -1). a يسمى الجزء الحقيقي Re(z)، b يسمى الجزء التخيلي Im(z).

2. العمليات الأساسية:

• الجمع: (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)
• الضرب: (a+ib)(c+id) = (ac−bd) + i(ad+bc)
• المرافق: مرافق z = a+ib هو z̄ = a−ib
• المعامل: |z| = √(a²+b²)
• القسمة: (a+ib)/(c+id) = (a+ib)(c−id)/(c²+d²)

3. حل المعادلات من الدرجة الثانية:

المعادلة az²+bz+c=0 حيث a, b, c أعداد حقيقية. إذا كان المميز Δ < 0: حلان مركبان مترافقان: z = (−b ± i√|Δ|)/(2a).

4. الشكل المثلثي (Trigonométrique):

لكل عدد مركب z ≠ 0 يمكن كتابته على الشكل: z = r(cos θ + i sin θ) حيث r = |z| و θ = arg(z) (العمدة). العلاقة: tan θ = b/a مع الانتباه للربع. صيغة أويلر: e^(iθ) = cos θ + i sin θ. صيغة موافر: (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ).

تمرين بكالوريا محلول:

التمرين: 1) حل في C المعادلة: z² − 4z + 13 = 0. الحل: Δ = 16 − 52 = −36 = 36i². √Δ = ±6i. إذن z = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i. 2) اكتب z₁ = 2+3i على الشكل المثلثي. الحل: r = √(4+9) = √13. cos θ = 2/√13، sin θ = 3/√13 → θ = arctan(3/2). z₁ = √13(cos θ + i sin θ).

خلاصة:

الأعداد المركبة أداة رياضية قوية. تذكر أن i² = −1، وتدرب على حساب المرافق والمعامل وتمثيل الأعداد المركبة في المستوى. الشكل المثلثي مهم جداً في تمارين الهندسة.

📍 دروس مشابهة:

• النهايات والاستمرارية: شرح شامل مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي
• الدوال اللوغاريتمية: تعريفها، خصائصها وتمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي