المتتاليات: دراسة التقارب ورتابة المتتاليات – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المتتاليات: دراسة التقارب ورتابة المتتاليات – الرياضيات

دراسة تقارب ورتابة المتتاليات من المفاهيم الأساسية في التحليل. نتعلم كيفية تحديد إذا كانت متتالية متقاربة أم متباعدة.

1. مفهوم تقارب المتتالية

المتتالية (u_n) متقاربة إذا كانت تؤول إلى عدد حقيقي l عندما يؤول n إلى +∞. نكتب lim_n→∞ u_n = l. إذا لم تكن المتتالية متقاربة، نقول أنها متباعدة.

2. النهايات الأساسية

• lim_n→∞ 1/n = 0
• lim_n→∞ n = +∞
• lim_n→∞ qⁿ = 0 إذا |q| < 1 و +∞ إذا q > 1
• lim_n→∞ n^p = +∞ لـ p > 0

3. الرتابة (Monotonicity)

المتتالية (u_n) تكون متزايدة إذا u_n+1 ≥ u_n لكل n. تكون متناقصة إذا u_n+1 ≤ u_n لكل n.

نحدد رتابة متتالية بحساب إشارة الفرق u_n+1 – u_n.

4. مبرهنة التقارب الرتيب

إذا كانت المتتالية متزايدة ومكبورة (محدودة علوياً) فهي متقاربة. إذا كانت المتتالية متناقصة ومصغورة (محدودة سفلياً) فهي متقاربة.

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: ادرس تقارب المتتالية u_n = (n+1)/n.

التمرين 2: بين أن المتتالية u_n = n² متباعدة.

التمرين 3: ادرس رتابة المتتالية u_n = 3n + 2.

6. الحلول

حل 1: u_n = 1 + 1/n. lim = 1. متقاربة.

حل 2: lim n² = +∞. إذن المتتالية متباعدة.

حل 3: u_n+1 – u_n = 3(n+1)+2 – (3n+2) = 3 > 0. إذن المتتالية متزايدة.

راجع أيضاً التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.