الهندسة التحليلية: المعادلات المستقيمية في المستوى – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

الهندسة التحليلية: المعادلات المستقيمية في المستوى

الهندسة التحليلية فرع مهم من الرياضيات يدمج بين الجبر والهندسة. في هذا الدرس نتعلم كيفية تمثيل المستقيمات في المستوى الإحداثي باستخدام المعادلات.

1. معادلة مستقيم في المستوى

كل مستقيم في المستوى يمكن تمثيله بمعادلة من الدرجة الأولى في x و y. الصيغة العامة هي (D): ax + by + c = 0 حيث a و b و c أعداد حقيقية و (a, b) ≠ (0, 0).

مثال: المعادلة 2x – 3y + 6 = 0 تمثل مستقيماً في المستوى.

2. المعادلة المختصرة لمستقيم

إذا كان b ≠ 0 يمكن كتابة المعادلة على الشكل y = mx + p حيث m يمثل معامل التوجيه (المنحدر) و p يمثل تقاطع المستقيم مع محور التراتيب.

كلما زادت قيمة m زاد انحدار المستقيم. إذا كان m > 0 فالمستقيم متزايد، وإذا كان m < 0 فالمستقيم متناقص.

مثال: y = 2x + 3: معامل التوجيه m = 2، التقاطع مع محور y عند النقطة (0, 3).

3. معادلة مستقيم يمر بنقطتين

إذا كان المستقيم يمر بالنقطتين A(x_A, y_A) و B(x_B, y_B) فإن معامل توجيهه هو m = (y_B – y_A) / (x_B – x_A) حيث x_B ≠ x_A.

4. التوازي والتعامد

إذا كان مستقيمان متوازيين فإن معاملي توجيههما متساويان: m₁ = m₂.

إذا كان مستقيمان متعامدين فإن حاصل ضرب معاملي توجيههما يساوي -1: m₁ × m₂ = -1.

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: حدد معادلة المستقيم المار بالنقطتين A(1, 2) و B(3, 4).

التمرين 2: هل المستقيمان y = 2x + 1 و y = -0.5x + 3 متعامدان؟

التمرين 3: اكتب معادلة المستقيم الموازي للمستقيم y = 3x – 2 والمار بالنقطة P(0, 5).

6. الحلول

حل 1: m = (4 – 2)/(3 – 1) = 2/2 = 1. المعادلة: y – 2 = 1(x – 1) أي y = x + 1.

حل 2: m₁ = 2, m₂ = -0.5. 2 × (-0.5) = -1. إذن المستقيمان متعامدان.

حل 3: m = 3. المعادلة: y – 5 = 3(x – 0) أي y = 3x + 5.

للمزيد من دروس الهندسة يمكنكم مراجعة درس التناسبية والدوال الخطية والتآلفية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.