الرياضيات — الدالة اللوغاريتمية: النهايات والمشتقات — الثالثة ثانوي — المنهاج الجزائري

الدالة اللوغاريتمية: النهايات والمشتقات

الدالة اللوغاريتمية الطبيعية (ln) هي الدالة العكسية للدالة الأسية. هذا الدرس للسنة الثالثة ثانوي.

أولا: تعريف الدالة اللوغاريتمية

ln(x) هي الدالة العكسية لـ e^x. مميزاتها:

• D_f = ]0, +∞[
• ln(1) = 0، ln(e) = 1
• ln(ab) = ln(a) + ln(b)
• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
• ln(a^n) = n×ln(a)

ثانيا: مشتقة الدالة اللوغاريتمية

(ln(x)) = 1/x

(ln(u(x))) = u(x)/u(x)

مثال:

f(x) = ln(x²+1) → f(x) = 2x/(x²+1)

ثالثا: النهايات الهامة

lim(x→0⁺) ln(x) = -∞

lim(x→+∞) ln(x) = +∞

lim(x→0⁺) x·ln(x) = 0

lim(x→+∞) ln(x)/x = 0

تمارين

1. احسب: f(x)=ln(3x+2) جد المشتقة.
2. احسب lim(x→0⁺) x²·ln(x)
3. ادرس الدالة: f(x)=ln(x)/x

للمزيد راجع الدوال اللوغاريتمية: المعادلات والمتراجحات و الدالة الأسية: النهايات والمشتقات.