الرياضيات — التحليل: دراسة قابلية اشتقاق دالة — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

دراسة قابلية اشتقاق دالة (Dérivabilité)

قابلية الاشتقاق مفهوم أساسي في التحليل الرياضي. يحدد متى يمكن حساب مشتقة دالة في نقطة. للسنة الأولى ثانوي.

أولا: مفهوم المشتقة في نقطة

المشتقة f(a) هي نهاية معدل التغير للدالة عند النقطة a:

f(a) = lim(h→0) [f(a+h) – f(a)]/h

إذا كانت النهاية موجودة، نقول إن الدالة قابلة للاشتقاق عند a.

ثانيا: التفسير الهندسي

f(a) هو ميل المماس (Tangente) للمنحنى عند النقطة (a, f(a)).

معادلة المماس: y – f(a) = f(a)(x – a)

مثال:

f(x) = x² عند a = 3

f(3) = lim(h→0) [(3+h)² – 9]/h = lim(9+6h+h²-9)/h = lim(6+h) = 6

المماس عند (3,9): y-9 = 6(x-3) → y = 6x – 9

تمارين

1. احسب f(2) للدالة f(x)=x³ باستخدام تعريف المشتقة.
2. أوجد معادلة المماس لـ f(x)=√x عند x=4.
3. هل الدالة f(x)=|x| قابلة للاشتقاق عند 0؟ اشرح.

للمزيد راجع التفاضل: مفهوم المشتقة و النهايات.