الرياضيات — الاحتمالات: مفاهيم أساسية وقوانين — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الاحتمالات: مفاهيم أساسية وقوانين

تعتبر الاحتمالات فرعاً مهماً من الرياضيات يدرس إمكانية وقوع الأحداث العشوائية. في هذا الدرس سنتعرف على المفاهيم الأساسية للاحتمالات وقوانينها الرئيسية.

أولاً: مفاهيم أساسية

• التجربة العشوائية: هي تجربة يمكن تكرارها في نفس الظروف وتعطي نتائج مختلفة ولا يمكن توقعها بشكل مؤكد، مثل رمي قطعة نقدية.
• المجال (Ω): مجموعة جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية.
• الحدث: جزء من مجال التجربة (مجموعة جزئية من Ω).
• الحدث الأولي: حدث يتكون من نتيجة واحدة فقط.

ثانياً: العمليات على الأحداث

• اتحاد حدثين A و B (A ∪ B): يقع إذا وقع A أو B أو كلاهما.
• تقاطع حدثين A و B (A ∩ B): يقع إذا وقع A و B معاً.
• الحدث المضاد (Ā): يقع إذا لم يقع A.

ثالثاً: قوانين الاحتمالات

• احتمال حدث: P(A) = عدد النتائج المواتية للحدث A ÷ عدد النتائج الممكنة (في حالة التساوي الاحتمال).
• محقق: 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(Ω) = 1 و P(∅) = 0
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• P(Ā) = 1 – P(A)

مثال تطبيقي

صندوق يحتوي على 10 كرات: 4 حمراء، 3 خضراء، 3 زرقاء. نسحب كرة عشوائياً. أحسب احتمال الحصول على:

أ) كرة حمراء: P(حمراء) = 4/10 = 0.4
ب) كرة ليست حمراء: P(غير حمراء) = 1 – 0.4 = 0.6
ج) كرة حمراء أو زرقاء: P(حمراء ∪ زرقاء) = 4/10 + 3/10 = 7/10 = 0.7

تمارين

1. نرمي حجر نرد مرة واحدة. أحسب احتمال الحصول على: أ) عدد زوجي، ب) عدد أولي، ج) عدد يقبل القسمة على 3.
2. في صف به 15 تلميذاً و 10 تلميذات، نختار تلميذاً عشوائياً. ما احتمال أن يكون التلميذ بنتاً؟
3. A و B حدثان حيث P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.1. أحسب P(A∪B).

روابط مفيدة

للمزيد من التمارين، راجع درس المعادلات من الدرجة الثانية ودرس المتراجحات من الدرجة الثانية.