الرياضيات — نظم المعادلات الخطية: الحل بالتعويض والحذف — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

نظم المعادلات الخطية: الحل بالتعويض والحذف

نظام المعادلات الخطية (Système d’équations linéaires) هو مجموعة من معادلتين أو أكثر من الدرجة الأولى بمجهولين (أو أكثر). يهدف حل النظام إلى إيجاد قيم المجاهيل التي تحقق جميع المعادلات في وقت واحد.

أولاً: تعريف نظام معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين

يكتب النظام على الشكل:

(S) : { ax + by = c
          { a’x + b’y = c’

حيث x و y هما المجهولان، و a, b, c, a’, b’, c’ أعداد حقيقية معلومة.

ثانياً: طريقة الحل بالتعويض (Substitution)

الخطوات:

• نعزل أحد المجهولين من إحدى المعادلتين
• نعوض به في المعادلة الثانية
• نحل المعادلة الناتجة (مجهول واحد)
• نحسب المجهول الثاني

مثال محلول:

حل النظام: { 2x + y = 7
          { 3x – 2y = 0

الحل:

• من المعادلة الأولى: y = 7 – 2x
• نعوض في الثانية: 3x – 2(7 – 2x) = 0
• 3x – 14 + 4x = 0 → 7x = 14 → x = 2
• y = 7 – 2(2) = 7 – 4 = 3

حل النظام: (x, y) = (2, 3)

ثالثاً: طريقة الحل بالحذف (Élimination)

الخطوات:

• نجعل معاملات أحد المجهولين متساوية في القيمة ومختلفة في الإشارة
• نجمع المعادلتين لحذف هذا المجهول
• نحل المعادلة الناتجة
• نحسب المجهول الثاني

مثال محلول:

حل النظام: { 3x + 2y = 12
          { 5x – 2y = 4

الحل:

• نجمع المعادلتين: 3x + 2y + 5x – 2y = 12 + 4
• 8x = 16 → x = 2
• نعوض في الأولى: 3(2) + 2y = 12 → 6 + 2y = 12 → 2y = 6 → y = 3

حل النظام: (x, y) = (2, 3)

رابعاً: تفسير الحلول بيانياً

كل معادلة خطية تمثل Straight line (مستقيماً) في المستوى الإحداثي. حل النظام يمثل نقطة تقاطع المستقيمين:

• إذا تقاطع المستقيمان في نقطة: حل وحيد
• إذا تطابق المستقيمان: عدد لا نهائي من الحلول
• إذا توزاي المستقيمان: لا يوجد حل

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

حل النظام التالي بطريقة التعويض:
{ x + y = 10
{ 2x – y = 5

التمرين 2:

حل النظام التالي بطريقة الحذف:
{ 4x + 3y = 23
{ 2x + 5y = 15

التمرين 3:

أوجد عددين مجموعهما 20 والفرق بينهما 4.

التمرين 4:

إذا كان حل النظام { x + 2y = 8 و { 3x – y = 3 هو (2,3)، تحقق من صحة ذلك بالتعويض في المعادلتين.

للمزيد حول المعادلات، راجع درس جمل المعادلات الخطية: طرق الحل المختلفة وكذلك درس المعادلات من الدرجة الثانية: المميز وطرق الحل.