الرياضيات — مقارنة الأعداد الحقيقية: إشارة الفرق والترتيب — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

مقارنة الأعداد الحقيقية: إشارة الفرق والترتيب

مقارنة الأعداد الحقيقية (Comparaison des nombres réels) هي مهارة أساسية في الرياضيات تسمح لنا بترتيب الأعداد وتحديد العلاقات بينها. تعتمد المقارنة على مفهوم إشارة الفرق بين عددين.

أولاً: قاعدة إشارة الفرق

القاعدة الأساسية: لمقارنة عددين حقيقيين a و b، نحسب الفرق a – b:

• إذا كان a – b > 0 فإن a > b (a أكبر من b)
• إذا كان a – b < 0 فإن a < b (a أصغر من b)
• إذا كان a – b = 0 فإن a = b (a يساوي b)

مثال محلول 1:

قارن بين العددين: 7 و 5

الحل: 7 – 5 = 2 > 0، إذن 7 > 5

مثال محلول 2:

قارن بين العددين: √3 و √2

الحل: √3 – √2 ≈ 1.732 – 1.414 = 0.318 > 0، إذن √3 > √2

ثانياً: مقارنة الأعداد الناطقة

لمقارنة كسرين a/b و c/d حيث b, d > 0، نضرب الطرفين في المقام المشترك:

a/b > c/d ⇔ a × d > c × b

مثال محلول:

قارن بين: 3/4 و 5/7

الحل: 3 × 7 = 21 و 5 × 4 = 20. بما أن 21 > 20، فإن 3/4 > 5/7

ثالثاً: قواعد الترتيب والعمليات

1. الجمع: إذا كان a < b فإن a + c < b + c

2. الضرب في عدد موجب: إذا كان a < b و c > 0 فإن a × c < b × c

3. الضرب في عدد سالب: إذا كان a < b و c < 0 فإن a × c > b × c (تنعكس الإشارة)

4. المربع: إذا كان 0 < a < b فإن a² < b²

5. الجذر التربيعي: إذا كان 0 < a < b فإن √a < √b

مثال محلول:

قارن بين: 2√3 و 3√2

الحل: نربع العددين: (2√3)² = 12 و (3√2)² = 18. بما أن 12 < 18 فإن 2√3 < 3√2

رابعاً: تطبيقات على المجالات

المجال (Intervalle) هو مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية. لتحديد مجال يحقق شرطاً معيناً، نستخدم قواعد المقارنة.

مثال:

حدد مجموعة الأعداد x التي تحقق: 2x – 3 > 5

الحل: 2x > 8 → x > 4. إذن x ∈ ]4, +∞[

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

قارن بين الأعداد التالية مستخدماً إشارة الفرق:
أ) 8 و 11
ب) -3 و 2
جـ) √5 و √7

التمرين 2:

قارن بين: 2/3 و 3/4 ثم بين √2/2 و 1/√2

التمرين 3:

إذا كان x < y، قارن بين:
أ) x + 5 و y + 5
ب) -2x و -2y
جـ) x² و y² (حيث x, y > 0)

التمرين 4:

حدد مجال الأعداد x التي تحقق: 3x – 7 ≤ 2x + 1

للمزيد حول الأعداد الحقيقية، راجع درس الأعداد الحقيقية: الحصر والتأطير وكذلك درس المجالات والقيمة المطلقة.